Matemáticas (plan 1983) 2024-2

Grupo 4113, 87 lugares. 86 alumnos.

 

Bienvenidos al curso de Cálculo III.

En este curso extenderemos algunas propiedades conocidas de las funciones de R en R a funciones de Rm en Rn; por ejemplo, uno de nuestros objetivos principales será estudiar la continuidad y diferenciabilidad de estas funciones. La importancia de estudiar funciones de Rm en Rn es que permiten modelar problemas físicos en los que la variable independiente puede representarse como un vector de m entradas, y la variable dependiente como un vector de n entradas, por tal motivo, será muy importante conocer las propiedades de los espacios vectoriales, en partircular, del espacio vectorial de Rn, cuyo estudio también requiere introducir algunos aspectos básicos de topología, como compacidad y convexidad.

A continuación algunos lineamientos que serán explicados con detalle el primer día de clases.

Temario.

1. Rn, espacios vectoriales, normas en Rn, producto punto, desigualdad de Cauchy, desigualdad del triángulo, etc.

2. Topología en Rn. Conjuntos abiertos, cerrados, frontera, conjuntos densos, interior, exterior, cerradura, etc.

3. Límites de funciones de R2 → R, límites de sucesiones en R2, R3. Continuidad usando abiertos y cerrados.

4. Funciones de R → R2, R → R3, curvas, diferenciabilidad de curvas, trazas de curvas, curvas rectificables.

5. Derivadas parciales, derivadas direccionales, plano tangente.

6. Diferenciabilidad de funciones f : R2 → R, distintas formas de definir diferenciabilidad.

7. Máximos, mínimos y puntos críticos de funciones f : R2 → R

8. Regla de la cadena chiquita.

9. Polinomios de Taylor de funciones de R2 → R.

10. El hessiano. Condiciones sobre el hessiano para que un punto sea máximo, mínimo o silla.

11. Transformaciones lineales.

12. Conjuntos conexos, disconexos y conexidad por trayectorias.

13. Funciones diferenciables de Rn → Rm

14. Regla de la cadena general.

15. Conjuntos compactos.

16. Teorema de Heine-Borel. Cerrado y acotado ⇐⇒ compacto

17. Teorema de la función inversa.

18. Teorema de la función implícita.

Evaluación

En este curso se evaluará de la siguiente forma:

Forma de trabajo.

El profesor y los ayudantes darán clase en el horario especificado. El profesor se encargará de la parte teórica de la materia, y adicionalmente dará algunas clases para la resolución de problemas. Los ayudantes complementarán la teoría en caso de ser necesario, y ayudarán a los estudiantes a practicar mediante la resolución de problemas.

Bibliografía.

El curso se basa principalmente en las notas de clase de profesor, que serán dadas a los alumnos cada semana después de que hayan sido explicadas por el profesor. Como bibliografía complementaria, pueden emplear: