Matemáticas (plan 1983) 2024-2

Segundo Semestre, Geometría Analítica II

Geometría Analítica II

Profesor Jesús Núñez Zimbron. nunez-zimbron@ciencias.unam.mx
Ayudante Andreo Chimal García. andreochimal@ciencias.unam.mx

Evaluación

Haremos dos exámenes, una tarea-examen y un proyecto final. Además se dejarán dos tareas a lo largo del curso con valor en la evaluación final.

• El promedio de los exámenes y tarea-examen constituye el 55% de la calificación final.
• El promedio de las tareas constituye el 30% de la calificación final. Se dejarán listas largas de problemas, de los cuales solo serán obligatorios entre 8 y 12.
• El proyecto final constituye el 15% de la calificación final.

Igualmente se dejarán problemas y tareas morales a modo de punto extra durante las clases y las ayudantías, los cuales fungirán como retos a su creatividad y les ayudarán a subir su calificación final. Los exámenes y las tareas también suelen incluir incisos adicionales de punto extra.

Reposiciones

• Cada estudiante tiene derecho a un máximo de dos reposiciones de examen (no tarea-examen) al término del semestre. La calificación de la reposición sustituye a la del examen correspondiente siempre y cuándo esta sea mayor o igual. No hay reposición del proyecto final ni de las tareas.
• Cada estudiante tiene derecho a un examen final, cuya calificación sobreescribe absolutamente todo el trabajo hecho a lo largo del curso, independientemente de si esta es mayor o menor.

Trabajo en clase

• Será obligatorio registrarse en un aula de Google Classroom (el código correspondiente será provisto los primeros días de clase), en donde se harán la mayoría de anuncios correspondientes al curso, así como publicación del material relevante como tareas, notas, videos, etc.
• Los días de la clase con el profesor son lunes, miércoles y jueves.
• Las ayudantías (los martes y viernes) son esenciales para el desarrollo de la clase y NO son opcionales. En ellas se discutirán ejercicios, ejemplos, contraejemplos y problemas que complementen de manera sustancial la teoría vista por el profesor, así como temas en paralelo en algunas ocasiones. Es común utilizar lo visto en la ayudantía durante las clases y viceversa. Así pues, incluiremos en las evaluaciones todo lo discutido en las ayudantías.

Contenido temático

Si bien seguiremos el temario oficial de la facultad, haremos varios cambios en el orden y enfoque de los temas a tratar. Pueden consultar el temario oficial en:

https://www.fciencias.unam.mx/sites/default/files/temario/245.pdf

Las precisiones que haremos sobre el temario son las siguientes:

1. Comenzaremos hablando de transformaciones lineales, isometrías, transformaciones ortogonales y afines. Esto corresponde al Tema 2 del temario oficial y lo veremos esencialmente con el enfoque que se da en el capítulo 3 del "libro del Roli".
   Bracho, J., Introducción analítica a las geometrías, Fondo de Cultura Económica, 2009.
2. Procederemos a hablar de la clasificación de las cónicas (como aplicacion directa de los conceptos del tema anterior) y la usaremos como motivación para hablar de cuádricas (los lugares geométricos que generalizan a las cónicas, pero en el espacio en lugar del plano). También obtendremos su clasificación. Seguiremos aproximadamente los capítulos 6 y 7 correspondientes del libro de Ana Irene:
   Ramírez-Galarza, A., Geometría Analítica: Una Introducción a la Geometría. México: Las Prensas de Ciencias, 1998,
   pero lo haremos con las herramientas que desarrollamos en el tema anterior, no necesariamente directamente como en el libro. Esto corresponde al Tema 1 del temario oficial.
   
   Los dos temas anteriores son un pináculo de la "geometría plana". Una manera de ver lo hecho hasta el momento es pensar en que en el curso de geometría analítica se construyó todo un sistema que nos permitió hablar analíticamente de la geometría euclidiana y generalizarla de manera extrema. Una vez hecho esto, procedimos a estudiar las transformaciones que "respetan la estructura de la geometría euclidiana". Es entonces natural preguntarnos qué otro tipo de teorías podemos formar de manera que las transformaciones naturales del espacio sean otras.
3. El ejemplo más sencillo que le sigue en complejidad a la geometría euclidiana es la geometría esférica, por lo que haremos un tratado básico de la misma. Esto corresponde al Tema 3 del temario oficial. Aquí discutiremos la geometría del plano complejo y un tipo particular de transformaciones del mismo, llamadas transformaciones de Möbius.
4. Las preguntas naturales que nos plantearemos dentro del contexto de la geometría esférica nos llevarán a una discusión profunda de las rotaciones en tres dimensiones, que forman el grupo SO(3). Echaremos mano además de lo estudiado para números complejos, lo que nos llevará naturalmente a analizar una generalización de los mismos, llamados cuaterniones. En estos dos temas utilizaremos unas notas personales que les facilitaremos en el momento correspondiente, pero durante la clase les indicaremos otros textos que pueden consultar.

Resumen del temario:

1. Transformaciones de Rⁿ.
   1. Grupos de transformaciones.
   2. Isometrías (Iso(Rⁿ)) y transformaciones ortogonales (O(n)).
   3. Transformaciones lineales y matrices.
   4. Grupo general lineal GL(n) y transformaciones afines A(n).
   5. Rotaciones y reflexiones en R².
2. Superficies cuádricas y su clasificación.
   1. Polinomios cuadráticos en R².
   2. Diagonalización de una matriz simétrica. Valores y vectores propios.
   3. Reducción de polinomios cuadráticos y clasificación de las cónicas.
   4. Sistemas coordenados en R³. Coordenadas cilíndricas y esféricas.
   5. Cilindros y superficies de revolución.
   6. Superficies cuádricas con ejes paralelos a los coordenados.
   7. Superficies regladas.
   8. Polinomios cuadráticos en R³. Clasificación de superficies cuádricas.
3. Geometría esférica y compleja.
   1. Caracterización de la geometría esférica. Coordenadas en la esfera, rectas, polos y polares.
   2. Distancia, área y ángulos en la esfera.
   3. Trigonometría esférica.
   4. El plano de los números complejos C y su geometría.
   5. Proyección estereográfica, plano complejo extendido, la esfera de Riemann y transformaciones afines.
   6. Isometrías en la esfera (Iso(S²)).
4. El grupo SO(3).
   1. Expresión matricial de una rotación en R³. Fórmula de rotación de Olinde Rodrigues.
   2. Exponencial y logaritmo de una matriz.
   3. Ángulos de Euler y fórmula de rotación de Euler.
   4. Cuaterniones

Filosofía del curso

• Es importante hacer notar que los cursos de la carrera están interconectados y no constan de conocimeintos aislados (incluso no tendremos miedo de usar herramientas de los otros cursos de los primeros dos semestres). Como tal, los animamos encarecidamente a tratar de aplicar todo lo visto en sus demás cursos, así como a utilizar cualquier argumento y/o herramienta de otros cursos, propiamente justificada.
• Se dice a veces que las matemáticas "no son un deporte de espectador" o, en otras palabras, para aprender matemáticas es necesario hacer matemáticas. Como tal, es muy importante que intenten todos los problemas y ejercicios que se asignen, que pregunten, discutan, jueguen, intenten, etc. En particular, es muy buena idea, hacer las tareas en equipo. Esto no quiere decir que se divide la tarea en secciones y cada quien hace una parte, sino que todos intentan todo en la tarea y se juntan a discutir qué salió, qiué no salió, cómo salió, por qué salió, etc.

Sobre la convivencia

• En nuestros cursos nos adherimos a la política de CERO TOLERANCIA A LA VIOLENCIA DE GÉNERO Y DE CUALQUIER OTRO TIPO, ya sea entre estudiantes, desde el profesor hacia el estudiante, ayudante hacia estudiante, violencia digital, o cualquier otra forma de violencia y/o violencia de género. Aquí también les dejo la declaratoria, que les hago hincapié es muy importante que conozcan.

https://www.gaceta.unam.mx/declaracion-tolerancia-cero-hacia-la-violencia-de-genero-en-las-universidades/

• Asimismo, les recuerdo que nos adherimos a los principios de ética de la UNAM; particularmente a aquellos que tienen que ver con la imparcialidad y transparencia de las evaluaciones.

https://coordinaciongenero.unam.mx/2015/07/codigo-de-etica-de-la-universidad-nacional-autonoma-de-mexico/

• Les invitamos a que si han sufrido alguna situación de violencia de género o si no están segurxs si la han sufrido se acerquen a la Comisión de Equidad quien les podrá brindar ayuda y orientación.

• Para facilitar nuestra convivencia de manera ética, profesional y amena, toda comunicación con el profesor y lxs ayudantes será exclusivamente por el classroom del curso o por correo institucional. No responderemos dudas por otros medios.

Bibliografía

Bracho, J., "Introducción analítica a las geometrías", Fondo de Cultura Económica, 2009.

Ramírez-Galarza, A., Geometría Analítica: Una Introducción a la Geometría. México: Las Prensas de Ciencias, 1998.

Chimal, A., Geometría esférica, 2023.

Hanson, A., Visualizing quaternions, Morgan-Kaufmann, 2006.

Complementaremos con otros (mencionados en clase cuando así se requiera) en partes específicas del curso.