Matemáticas (plan 1983) 2024-1

Tercer Semestre, Cálculo Diferencial e Integral III

Hola.

Iniciamos este curso el jueves 17 de agosto (es decir, mañana, debido a su reciente apertura).

Bienvenidos todos los interesados en inscribirse en este curso. Si fuera necesario, solicitaríamos un espacio más grande. De hecho, nos han dicho que se cuenta con un espacio para 35 personas al que podríamos cambiarnos.

La intención principal de este curso es estudiar y comprender la diferenciabilidad de funciones de Rⁿ a R^m y su aplicación.

La dinámica de este curso será la usual.

Los sábados los usaremos o para dar clases de teoría, o para dar clases de ayudantía, o para dar asesorías (resolver dudas de las clases o de los ejercicios de las tareas que se dejen).

Abriremos 2 sesión de asesoría fuera del horario de clases antes de cada examen parcial para que puedan plantear sus dudas sobre lo visto en clase, o ejercicios de las tareas. Estas asesorías pueden ser en línea o de manera presencial (nos ponemos de acuerdo en el salón de clase).

Abriremos un grupo en Classroom para subir material del curso: las tareas, ejercicios, ejemplos resueltos, algunas notas de clase y calificaciones. También ahí podrán plantear sus dudas sobre los ejercicios o teoría.

Enlace para el grupo de Classroom: https://classroom.google.com/c/NjMzMzcxNDg0Nzk4?hl=es&cjc=szmlnn5

Elementos para la evaluación del curso

1. Exámenes.

Se aplicarán de 5 a 6 exámenes parciales durante el curso:

1. Dos exámenes serán Tarea-Examen en equipo y para cada una de ellas tendrán el tiempo suficiente (al menos, un día) para entregarlas.

2. El resto de los exámenes serán a la hora de clase y tendrán un tiempo razonable para contestarlo y entregarlo.

2. Habrá reposiciones de todos los exámenes que se apliquen durante el curso (incluyendo las Tareas-exámenes). Las reposiciones serán al final del semestre y en dos días o tres, dependiendo de los tiempos. Podrán presentar todas las reposiciones, si así lo desean.

3. El promedio de las calificaciones de todos los exámenes se hará tomando en cuenta la máxima calificación entre el examen parcial y la correspondiente reposición.

4. Los exámenes representarán el 70 % de la calificación final del curso.

5. Tareas:
   1. Se dejará una tarea por cada examen parcial que no sea tarea-examen para que preparen su examen parcial correspondiente, y una tarea adicional.

2. Las tareas se entregan individual o en equipos de, a lo más 4 integrantes.

3. Las tareas representan el 30% de la calificación final.

Cada tarea se entregará a los estudiantes en dos partes antes de cada parcial.

6. Se dejará una lista de ejercicios adicional (que no son para entregar) por cada examen parcial para que practiquen la teoría y puedan preparar de una mejor manera el examen correspondiente.

7. Bonificación.

En caso de que sea necesario, consideraremos alguna actividad adicional para que puedan mejorar su calificación.

Por ejemplo,

Exámenes rápidos (de 15 minutos), de opción múltiple,

Exposición en equipo de una aplicación de la Derivada en Rn.

La bonificación es opcional (o sea, no es obligatoria).

Lo comentamos en clase.

8. El examen final consistirá en presentar todas las reposiciones.

Escala de calificación final del curso

Rango Calificación

5.5 – 6.5 6

6.6 – 7.5 7

7.6 – 8.5 8

8.6 – 9.5 9

9.6 – 10 10

A continuación, presentamos los temas que se abordarán en este curso, el cual tiene una gran intersección con el temario oficia, así como parte de la bibliografía que utilizaremos en este curso:

CAPÍTULO I. Espacios Normados.

1. Producto interior.
2. Producto cruz.
3. Normas en Rⁿ.

CAPÍTULO II. Topología de Rⁿ.

1. Conjuntos abiertos y cerrados, y conjunto frontera.
2. Conjuntos compactos y Teorema de Heine-Borel.
3. Conjuntos conexos.

CAPÍTULO III. Sucesiones en Rⁿ.

1. Definición y ejemplos de Sucesiones y subsucesiones.
2. Convergencia de una sucesión.
3. Criterios de convergencia de una sucesión.
4. Sucesiones de Cauchy.
5. Un axioma de completez para Rⁿ.

CAPÍTULO IV. Funciones de R a Rⁿ.

1. Definición y ejemplos de funciones.
2. Parametrización y reparametrización de funciones.
3. Límite de una función y criterios de convergencia.
4. Continuidad de una función.
5. Propiedades de funciones continuas.

CAPÍTULO V. Diferenciación de funciones de R a Rⁿ.

1. Derivada de una función.
2. Diferencial de una función.
3. Curvatura, torsión y plano osculante.
4. Fórmula de Frenet.

CAPÍTULO VI. Funciones de Rⁿ a R.

1. Definición y ejemplos de funciones.
2. Límite de una función y criterios de convergencia.
3. Continuidad de una función.
4. Propiedades de funciones continuas.

CAPÍTULO VII. Diferenciación de funciones de Rⁿ a R.

1. Definición de la derivada de una función y ejemplos.
2. Derivadas direccionales.
3. Derivadas parciales y gradiente.
4. Diferenciación de una función.
5. Teorema del valor medio.

CAPÍTULO VIII. Máximos y mínimos de una función.

1. Derivadas de orden superior.
2. Teorema de Taylor.
3. Máximos y mínimos con restricciones, Multiplicadores de Lagrange.

Bibliografía.

1. Marsden, J. Cálculo Vectorial. Ed. Pearson.
2. Apostol, Tom M. Calculus, Vol. 2. Ed Reverté.
3. Courant, R. Introducción al Cálculo y al Análisis, Vol. 2. Ed. Limusa.
4. Bartle, Robert G. Introducción al análisis matemático. Ed. Limusa.
5. Sagan, Hans. Advanced Calculus.

Bibliografía complementaria.

1. Fulks, W. Cálculo Avanzado. México: Limusa-Wiley, 1970.
2. Spivak, M. Cálculo en Variedades. México: Ed. Reverté, 1987