Actuaría (plan 2006) 2024-1

Tercer Semestre, Probabilidad I

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE CIENCIAS

Materia: Probabilidad I (Grupo 9315)

Período: Agosto - Diciembre 2023

Horario: Lunes – Viernes 10:00 a 11:00 salón O128

Profesores: Edgar Díaz Ordóñez

Edgar Ángeles González

OBJETIVO(S) GENERAL(ES) DEL CURSO

Al finalizar el curso el alumno(a):

• Explicar las diferentes interpretaciones de la probabilidad, así como algunos conceptos y resultados elementales.
• Comprender lo que es una variable aleatoria. Estudiar el concepto de función de distribución y densidad. Explicar la naturaleza y características de algunas importantes familias de distribuciones.
• Comprender los conceptos de esperanza, momentos y función generadora de momentos.
• Explicar teoremas límite para variables aleatorias discretas. Leyes de los grandes números, el teorema del límite central y algunas aplicaciones.

TEMARIO

Bloque I

Espacio de Probabilidad

• Espacio muestral, eventos y su interpretación.
• Panorama histórico de la probabilidad, interpretación frecuentista, definición clásica, probabilidad geométrica.
• Definición axiomática de probabilidad (sin énfasis en sigma-álgebras).
• Propiedades de la probabilidad.
• Probabilidad condicional e independencia.
• Fórmulas de la probabilidad total y de Bayes.
• Teorema de continuidad de la probabilidad.
• Simulación de ejemplos elementales para ilustrar la interpretación frecuentista.

Bloque II

Variables Aleatorias y Funciones de Distribución

• Definición de variable aleatoria.
• Función de distribución y sus propiedades.
• Variables aleatorias discretas como familias paramétricas y su interpretación; funciones de masa o densidad, incluyendo los ejemplos: Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Geométrica, Binomial negativa, Hipergeométrica y modelos donde éstas aparecen. Familias paramétricas discretas y su interpretación.
• Variables aleatorias continuas (o absolutamente continuas) y funciones de densidad. Familias paramétricas, incluyendo los ejemplos: Uniforme, Normal, Exponencial, Gamma, Cauchy, Beta, Weibul, Pareto, Frechet, Gumbel, Logística, Gausiana inversa y modelos donde éstas aparecen.
• Función de distribución de funciones de variables aleatorias.
• Simulación de variables aleatorias.

Bloque III

Momentos de Variables Aleatorias

• Esperanza, varianza y propiedades. La esperanza minimiza la distancia cuadrática.
• Momentos de variables aleatorias.
• Esperanza de funciones de una variable aleatoria.
• Desigualdades, incluyendo las de Tchebyshev, Jensen, Markov, Chernoff.
• Funciones Generadoras: Función generadora de momentos, función generadora de momentos factoriales (para variables aleatorias con valores en los naturales) y aplicaciones.

Bloque IV

Teoremas límite para sucesiones de variables aleatorias discretas

• Aproximación Poisson a la Binomial.
• Vectores aleatorios, funciones de densidad y de distribución; conjunta y marginales.
• Sumas de variables aleatorias independientes.
• Enunciado de algunos teoremas límite: Leyes de los Grandes Números, Teorema de Límite Central.
• Demostración de la ley débil de los grandes números.
• Teorema de Límite Central para la distribución Bernoulli (Teorema de De Movire-Laplace).
• Contrastar los resultados teóricos con los obtenidos por simulación.

POLITICAS DE EVALUACIÓN

• Exámenes parciales (4) 50%

• Tareas (8) 50%

• Proyecto final (1) 10% (opcional)

Nota: solo se podrán hacer a lo más dos reposiciones de exámenes parciales.

• Examen final: solo aplica si renuncias a tu calificación a través de los exámenes, tareas y/o proyecto final.

BIBLIOGRAFÍA

• Feller, W. (1968). An introduction to probability theory and its applications, Volumen I. New York: John Wiley & Sons Inc.
• Gnedenko, B. V. (1975). The theory of probability. Chelsea.
• Hoel, P. G., Port, S. C., Stone, C. J. (1971). Introduction to probability theory. Houghton Mifflin Company.
• Mood, A. M., Graybill, F. A., Boes, D. C. (1974). Introduction to the theory of Statistics (3a ed.). McGraw-Hill.
• Ross, S. (1997). A first course in probability theory (5a ed.). Prentice Hall.
• Casella, G. & Berger, R. L. (2002). Statistical inference. Thomson Learning, la Universidad de Michigan.
• Stirzaker, D.R. (2003). Elementary Probability (2a ed.). Cambridge University Press.