Matemáticas (plan 1983) 2024-1

Optativas de los Niveles V y VI, Ecuaciones Diferenciales II

Ecuaciones diferenciales II

Si bien es deseable haber cursado Ecuaciones I y Cálculo III, el curso es autocontenido. Se dará el material según se vaya necesitando. Sin embargo, sí se pide al alumno un compromiso especial siempre preguntar sus dudas, de ir al día con la teoría y de hacer todos los problemas que se plantean en el curso. La intención es no sólo dar un material clásico e importante de la teoría de ecuaciones diferenciales, sino también despertar la capacidad creativa de los estudiantes mediante la resolución de problemas. Es sustancial tener una asistencia regular al curso.

Temario

- Sistemas lineales de ecuaciones (repaso)

- Complejificación

- Clasificación topológica de ecuaciones lineales

- Teorema de Grobman- Hartman

- Estabilidad de Liapunov y asintótica de puntos singulares

- Estabilidad de Liapunov de ciclos límite

- Teorema de Existencia y Unicidad

- Ecuación de primera variación y teorema de diferenciabilidad con respecto a condiciones iniciales

- Transformación de Poincaré

- Monodromía

- Teorema de Floquet

- Teorema de Andronov-Vitt

- Relación entre la transformación de Poincaré y la transformación de monodromía

- Teorema de Poincaré-Bendixon (sin demostración)

- Criterio de Poincaré-Pontriaguin de nacimiento de ciclos límite.

- Nociones de estabilidad estructural, bifurcaciones y caos.

- Aplicaciones.

-Si el tiempo lo permite, una introducción a explosión de singularidades (a modo

de invitación a profundizar en ello en el curso subsecuente).

Evaluación: Además de evaluación por examen, se darán problemas que, como se dijo al inicio,

busquen fomentar la capacidad creativa de quienes lleven el curso. El trabajo esmerado en el

análisis de éstos y su eventual resolución será especialmente evaluado. La escritura clara de

los argumentos que se den como parte de la resolución de los problemas es sustancial. Nos

reservamos el derecho de hacer alguna evaluación oral en caso de ser muy necesario.

Bibliografía:

Los siguientes libros pueden ser de utilidad aunque ninguno será seguido linealmente.

- Arnold, V.I., Ordinary Differential Equations, Springer Verlag.

- Hirsh S., Smale R., Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press.

- Jaurez-Rosas J., Ortiz-Bobadilla L., Palma-Márquez J., Rosales-González E., Teoría geométrica de ecuaciones diferenciales I y II, Textos 13 y 14, Papirhos, UNAM.

- Pontryagin L., Ordinary Differential Equations, Addison-Wesley.