Matemáticas (plan 1983) 2024-1

Quinto Semestre, Variable Compleja I

Fecha de actualización: Lunes 14 de agosto de 2023 (Puesta de la modalidad y forma de evaluar)

11 de junio de 2023 (Puesta del temario y bibliografia)

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Datos de la materia

Modalidad Presencial

Sitio y/o plataforma educativa de la asignatura: Se vera en la primera clases y se comentará que por cuestiones burocraticas el sitio no puede estar mas de un año

Forma de Evaluar:

Forma de Evaluar Va a ser por medio de Exámenes parciales seran de 3 a 5 exámenes, dependiendo de como se comporte el semestre. Para cada examen se va a dejar una tarea de 15 ejercicios como máximo, de esta tarea se sacarán 5 ejercicios para el examen parcial.

Se puede reponer todos los exámenes que se necesiten en las dos vueltas de examen ordinario (final). También se puede presentar el examen final en una o en dos vueltas,

Temario

Temario

El temario de este curso es el siguiente y el cual tiene un orden distinto del oficial el cual se encuentra en la dirección electrónica:

http://www.matematicas.unam.mx/images/Planes_de_Estudio/Matematicas/Matematicas_(Plan_1983)/Archivos_PDF/Por_Semestre/Semestre_5/0840_-_Variable_Compleja_I.pdf

1. Números Complejos (Álgebra y Geometría)
   1. Definición Axiomática de los números complejos.
      1. Concepto de número complejo
      2. Definición por par ordenado.
      3. Definición de suma y multiplicación.
   2. Números complejos en la forma algebraica.
      1. Equivalencia entre la forma axiomática y algebraica
      2. Potencias del número
      3. Conjugado de un número complejo
      4. Parte real y parte imaginaria de un número complejo
   3. El campo de los números complejos
      1. Significado de los números complejos
      2. El plano complejo
   4. Módulo, norma de un numero complejo
      1. Definición de la norma o módulo de un numero complejo
      2. Interpretación geométrica de la norma de un numero complejo
      3. Desigualdad Triangular y problemas relacionados
      4. Distancia euclidiana
   5. Forma Polar de un número complejo
      1. Representaciones de un numero complejo en forma polar
      2. Operaciones
      3. Interpretación geométrica de la multiplicación, conjugación de un número complejo y el inverso de un número complejo.
      4. Potencias y raíces.
      5. Las raíces “ene”-ésimas de la unidad.
   6. Geometría de los números complejos
      1. Ecuación de la línea recta en el plano complejo.
      2. Ecuación de la circunferencia en el plano complejo
      3. Proyección Estereográfica
         1. Obtención de la proyección del plano complejo a la esfera Unitaria y viceversa
         2. Propiedades de la proyección Estereográfica
         3. El punto al infinito
         4. Introducción a las transformaciones bilineales
         5. Transformaciones de Möbius
   7. Funciones elementales en los números complejos
      1. Mapeos lineales
      2. Forma exponencial de un numero complejo
      3. La exponencial compleja
      4. Funciones Trigonométricas e Hiperbólicas complejas
      5. Las funciones Logaritmo complejo y Potencial compleja
         1. Rama principal y superficies de Riemann
      6. Funciones inversas
      7. Geometría de las funciones
   8. Conjuntos de puntos en el plano complejo
      1. Discos
      2. Vecindades
      3. Regiones
2. Límites y Continuidad
   1. Conceptos básicos de Topología
      1. Espacios Métricos
         1. Métrica
            1. Distintos tipos de métricas
         2. Conjuntos Abiertos
         3. Conjuntos cerrados
         4. Propiedades de los conjuntos abiertos y cerrados
         5. Punto interior, Punto de acumulación
         6. Interior de un conjunto
         7. Cerradura de un conjunto
         8. Definición de sucesión convergente
         9. Equivalencia de la definición de cerradura
   2. Límites de funciones complejas
      1. Teorema sobre límites
      2. Límites al infinito.
3. Continuidad de funciones
   1. Teoremas sobre continuidad
   2. Continuidad uniforme
   3. Subconjuntos compactos y continuidad
3. Derivadas en funciones complejas
   1. Parte real e imaginarias de las funciones
   2. Definición de la derivada
   3. Reglas para la diferenciación
   4. Interpretación geométrica de la derivada
   5. Analiticidad
      1. Definición
      2. La analiticidad en un punto y en un abierto
      3. Funciones analíticas, meromorfas, holomorfas
      4. Ecuaciones de Cauchy-Riemann (Condiciones de D’Alembert-Euler)
         1. Forma rectangular
         2. Forma polar
      5. Condiciones necesarias para la analiticidad
      6. Condiciones suficientes para la analiticidad
   6. Derivadas de orden superior
   7. Regla de L’Hôpital
   8. Funciones Armónicas
   9. Ecuación de Laplace
   10. Interpretación Física de la derivada: campos vectoriales sin fuentes e irrotacionales
4. Integración en funciones complejas
   1. Integrales de línea
   2. Conexidad, Conjuntos arco conexos o conexos por trayectorias, recintos simplemente conexos, homotopía
   3. Integrales complejas
   4. Reglas para la integración
   5. Teorema de Green
   6. Teorema de Cauchy-Goursat
   7. Independencia de la trayectoria
   8. Otras formas del Teorema de Cauchy
   9. Fórmulas de las integrales de Cauchy y sus consecuencias.
      1. Índice de un circuito
      2. Signo o sentido de un circuito simple
      3. Extensiones del teorema de Cauchy.
   10. Algunas consecuencias del teorema de Cauchy: derivadas de orden superior
5. Teorema del residuo
   1. Ceros y polos de una función
   2. Puntos singulares aislados
   3. Residuos de funciones
   4. Teorema del residuo
   5. Algunas consecuencias del Teorema del Residuo
   6. Aplicaciones del Teorema del Residuo
      1. Evaluación de integrales definidas
      2. La transformada inversa de Laplace

Bibliografía

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