Física Biomédica (plan 2015) 2024-1

Tercer Semestre, Álgebra Lineal

Curso de Álgebra Lineal

Notas (en constante actualización)

Serie de videos animados "Espacios vectoriales con producto escalar"

Objetivo

Sentar bases teóricas sólidas de álgebra lineal para diversas aplicaciones que serán útiles en materias del plan de estudios, tales como Cálculo Avanzado, Ecuaciones Diferenciales, Matemáticas Avanzadas, Introducción a la Física Cuántica y Mecánica Cuántica, Algoritmos Computacionales y Física Computacional, entre otras.

Forma de evaluación

Nota: No se tolerará la deshonestidad académica. SI DETECTAMOS QUE HAY UNA COPIA EN UNA ENTREGA, TODAS LAS PERSONAS INVOLUCRADAS OBTENDRÁN 0 EN LA MISMA. Si te inscribes al curso, aceptas esta condición.

Temario

Módulo 1 - Nociones básicas de álgebra lineal

Semana 1: Estructuras algebraicas, campos, espacios vectoriales y subespacios vectoriales.

Semana 2: Combinaciones lineales, conjunto generador y subespacio generado.

Semana 3: Dependencia e independencia lineal, bases y dimensión.

Semana 4: Transformaciones lineales.

Módulo 2 - Representación de espacios vectoriales de dimensión finita

Semana 5: Representación de vectores como n-tuplas y transformaciones lineales como matrices.

Semana 6: Representaciones vistas como isomorfismos. (Operaciones entre transformaciones lineales y matrices)

Semana 7: Invertibilidad de matrices e isomorfismos asociados.

Semana 8: Cambios de base.

Módulo 3 - Caracterización algebraica de transformaciones lineales

Semana 9: Diagonalización, eigenvectores y eigenvalores.

Semana 10: Diagonalizabilidad, eigenespacios y descomposición espectral.

Módulo 4 - Caracterización geométrica de operadores lineales

Semana 11: Producto escalar, bases ortogonales y proyecciones vectoriales,

Semana 12: Norma inducida y bases ortonormales, ortogonalización y ortonormalización.

Semana 13: Funcionales y espacio dual, complemento ortogonal y proyecciones ortogonales.

Semana 14: Operadores adjuntos, normales y autoadjuntos.

Semana 15: Teorema espectral.

Semana 16: Operadores unitarios y ortogonales.

Nota: Debido al poco tiempo del que disponemos para el curso, se asumirá que lxs estudiantes dominan los siguientes temas del temario de Álgebra: Matrices (definción y operaciones), matrices transpuestas, operaciones elementales y matrices elementales, rango de una matriz, matrices invertibles, cálculo de la inversa de una matriz invertible, determinante de una matriz cuadrada (definición y propiedades), cálculo de determinantes, soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales homogéneos, espacio de soluciones de un sistema homogéneo, sistemas de ecuaciones lineales no homogéneos, criterios de existencia de soluciones y resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Bibliografía recomendada:

• S. H. Friedberg, Linear Algebra, 4a ed. - es el texto básico para este tipo de cursos.
• S. Lang, Linear Algebra, 3a ed. - buen complemento al Friedberg.
• D. Poole, Linear Algebra: A Modern Introduction, 4a ed. - útil para quienes quieran ver algunas aplicaciones de los conceptos al mismo tiempo que los aprenden.
• R. Hammack, Book of Proof, 3a ed. - suplemento para entender y practicar demostraciones matemáticas.

Les sugerimos que hojeen todos los libros recomendados antes de iniciar el curso, y que consulten los de su agrado constantemente durante el mismo, o bien, busquen otros que les sirvan mejor para aprender.

Recursos didácticos

• Notas del curso.
• Serie de videos Essence of Linear Algebra del canal de YouTube 3Blue1Brown.
• Serie de videos Espacios vectoriales con producto escalar del canal de YouTube Animathica.
• Sitios web interactivos Immersive Linear Algebra e Interactive Linear Algebra.
• Series de videos con interfaces para resolver ejercicios de lemma y Khan Academy.

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