Matemáticas (plan 1983) 2024-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Variable Compleja II

Forma de trabajo:

Se impartirán clases presenciales en el horario y salón indicados. Auxiliarmente usaremos Google Classroom para compartir recursos, tareas e información del curso. En caso de necesitar reuniones virtuales usaremos Google Meet (el enlace es el que se encuentra en Classroom).

Código de Classroom: 6mmft5s

Se dejarán listas de ejercicios de tarea (moral), que servirán para prepararse para los exámenes.

Forma de evaluación:

Se realizarán 6 exámenes y tareas-exámenes (cada dos o tres semanas), con un valor del 100% de la calificación.

Se realizarán exposiciones de las soluciones de algunos de los ejercicios, lo que contará como un punto extra de la calificación.

Temario:

1. Aplicaciones del Teorema del Residuo
   1. 1 Teorema del Residuo (se dará un repaso de su demostración y sus aplicaciones para el cálculo de integrales impropias de funciones racionales, la transformada de Fourier e integrales de funciones trigonométricas).
   2. 2 Cálculo de residuos: método del determinante y otros métodos para polos de orden superior.
   3. 3 Integrales impropias: integral Gaussiana, la transformada de Mellin­­.
   4. 4 Valor principal de Cauchy.
   5. 5 Integrales impropias de funciones multivaluadas (logaritmo y raíz).
   6. 6Cálculo de series (como ejemplo se prueban la identidad de Euler y se evalúa a la función zeta de Riemann en s=4).

2. Conformalidad, transformaciones de Möbius
   1. 1 Teoría básica del mapeo conforme.
   2. 2 Métrica cordal.
   3. 3 El grupo de Möbius actuando en la esfera de Riemann, PSL(2,C).
   4. 4 Propiedades de las transformaciones de Möbius: preservan círculos, son transitivas en la familia de todos los círculos, etc.
   5. 5 Clasificación de las transformaciones de Möbius mediante puntos fijos y conjugaciones.
   6. 6 Geometría de las transformaciones de Möbius, configuración de Steiner.
   7. 7 Transformaciones de Möbius que preservan discos: PSL(2,R), M(Δ).
   8. 8 Clasificación de las transformaciones de Möbius por traza y multiplicadores.

3. Continuación analítca
   1. 1 Principio de continuación analítica (teorema de la identidad).
   2. 2 Simetría en círculos en término de transformaciones de Möbius, razón cruzada.
   3. 3 Principio de reflexión de Schwarz para regiones simétricas respecto a la recta real o con respecto a otro círculo.
   4. 4 Continuación analítca por series de potencias a lo largo de curvas, teorema de monodromía.
   5. 5 Superficies de Riemann de algunas funciones elementales: logaritmo, raíz n-ésima. Superficie de Riemann del coseno inverso.

4. Principio del argumento, aplicaciones y comportamiento local
   1. 1 Principio del argumento I y II.
   2. 2 Teorema de Rouché (aplicación para localizar ceros de funciones).
   3. 3 Teorema de Hurwitz.
   4. 4 Funciones inyectivas.
   5. 5 Comportamiento local de funciones analíticas, teorema del mapeo abierto.

5. Teorema del mapeo de Riemann
   1. 1 Familias normales, equicontinuidad, teorema de Montel (se puede usar el teorema de Arzelà-Ascoli).
   2. 2 Demostración completa del teorema y ejemplos.

6. Métodos asintóticos
   1. 1 Productos infinitos.
   2. 2 La función Gamma.

7. Teorema de Mittag-Leffler (no se evaluará)

Bibliografía:

Marsden, J.E. y Hoffman, M. J. Basic Complex Analysis, México, Trillas, 1996.

Ahlfors, L.V. Complex Analysis,. México: McGraw-Hill, 1979.

Lascurain Orive, A. Curso básico de variable compleja, 3a edición, 2a reeimpresión, Las prensas de Ciencias, UNAM 2020.

Lascurain Orive, A., Una introducción a la geometría hiperbólica bidmensional, Facultad de Ciencias, UNAM, 2005.

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