Matemáticas (plan 1983) 2024-1
Optativas de los Niveles VII y VIII, Variable Compleja II
Grupo 4347, 20 lugares. 10 alumnos.
Forma de trabajo:
Se impartirán clases presenciales en el horario y salón indicados. Auxiliarmente usaremos Google Classroom para compartir recursos, tareas e información del curso. En caso de necesitar reuniones virtuales usaremos Google Meet (el enlace es el que se encuentra en Classroom).
Código de Classroom: 6mmft5s
Se dejarán listas de ejercicios de tarea (moral), que servirán para prepararse para los exámenes.
Forma de evaluación:
Se realizarán 6 exámenes y tareas-exámenes (cada dos o tres semanas), con un valor del 100% de la calificación.
Se realizarán exposiciones de las soluciones de algunos de los ejercicios, lo que contará como un punto extra de la calificación.
Temario:
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Aplicaciones del Teorema del Residuo
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1 Teorema del Residuo (se dará un repaso de su demostración y sus aplicaciones para el cálculo de integrales impropias de funciones racionales, la transformada de Fourier e integrales de funciones trigonométricas).
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2 Cálculo de residuos: método del determinante y otros métodos para polos de orden superior.
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3 Integrales impropias: integral Gaussiana, la transformada de Mellin.
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4 Valor principal de Cauchy.
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5 Integrales impropias de funciones multivaluadas (logaritmo y raíz).
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6Cálculo de series (como ejemplo se prueban la identidad de Euler y se evalúa a la función zeta de Riemann en s=4).
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Conformalidad, transformaciones de Möbius
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1 Teoría básica del mapeo conforme.
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2 Métrica cordal.
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3 El grupo de Möbius actuando en la esfera de Riemann, PSL(2,C).
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4 Propiedades de las transformaciones de Möbius: preservan círculos, son transitivas en la familia de todos los círculos, etc.
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5 Clasificación de las transformaciones de Möbius mediante puntos fijos y conjugaciones.
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6 Geometría de las transformaciones de Möbius, configuración de Steiner.
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7 Transformaciones de Möbius que preservan discos: PSL(2,R), M(Δ).
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8 Clasificación de las transformaciones de Möbius por traza y multiplicadores.
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Continuación analítca
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1 Principio de continuación analítica (teorema de la identidad).
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2 Simetría en círculos en término de transformaciones de Möbius, razón cruzada.
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3 Principio de reflexión de Schwarz para regiones simétricas respecto a la recta real o con respecto a otro círculo.
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4 Continuación analítca por series de potencias a lo largo de curvas, teorema de monodromía.
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5 Superficies de Riemann de algunas funciones elementales: logaritmo, raíz n-ésima. Superficie de Riemann del coseno inverso.
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Principio del argumento, aplicaciones y comportamiento local
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1 Principio del argumento I y II.
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2 Teorema de Rouché (aplicación para localizar ceros de funciones).
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3 Teorema de Hurwitz.
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4 Funciones inyectivas.
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5 Comportamiento local de funciones analíticas, teorema del mapeo abierto.
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Teorema del mapeo de Riemann
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1 Familias normales, equicontinuidad, teorema de Montel (se puede usar el teorema de Arzelà-Ascoli).
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2 Demostración completa del teorema y ejemplos.
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Métodos asintóticos
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1 Productos infinitos.
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2 La función Gamma.
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Teorema de Mittag-Leffler (no se evaluará)
Bibliografía:
Marsden, J.E. y Hoffman, M. J. Basic Complex Analysis, México, Trillas, 1996.
Ahlfors, L.V. Complex Analysis,. México: McGraw-Hill, 1979.
Lascurain Orive, A. Curso básico de variable compleja, 3a edición, 2a reeimpresión, Las prensas de Ciencias, UNAM 2020.
Lascurain Orive, A., Una introducción a la geometría hiperbólica bidmensional, Facultad de Ciencias, UNAM, 2005.
Para cualquier duda, contactarme al correo: helena_lc95@ciencias.unam.mx