Matemáticas (plan 1983) 2024-1

Optativas de los Niveles V y VI, Topología I

Topología I

• Temario:

• Espacios topólogicos.

1. ​Repaso de espacios métricos, bolas abiertas, cerrados y funciones continuas.
2. Definición de topología y espacio topólogico.
3. Abiertos, cerrados y equivalencias.
4. Operadores de cerradura, interior y frontera.
5. Densidad y axiomas de numerabilidad. ​
6. Bases y subbases de​ una topología.

• Funciones continuas.

1. Definición de continuidad entre espacios topológicos.
2. Equivalencias de continuidad.
3. Homeomorfismos, funciones abiertas y cerradas, propiedades topológicas.
4. Topología inducida por una familia de funciones y topología de subespacio.
5. Propiedad universal.

• Compacidad y axiomas de separación.

1. Definición de compacidad.
2. Axiomas de separación T0, T1 y T2.
3. Axiomas de separación T3,T3½ y Lema de Urysohn.
4. Compacidad en espacios T2 y equivalencias.
5. Productos y Teorema de Tychonoff.

• Conexidad.

1. Definición de conexidad y componentes conexas.
2. Conexidad por trayectorias y espacios localmente conexos.
3. Contraejemplos en topología.

• Espacios cociente.

1. ​Definición de suma topológica.
2. Definición de espacio cociente y propiedad universal del cociente.
3. Ejemplos famosos en la topología: Banda de Möbius, Espacio proyectivo y el Toro.

• Evaluación:

Se realizarán cuatro exámenes parciales a lo largo del curso, los cuales forman el 100% de la calificación final. También, se harán tareas previas a la fecha del examen, con el fin de reforzar los conocimientos en clase.

• Bibliografía:

Seguiremos el siguiente texto:

Prieto, C., Topología Básica, México: Fondo de Cultura Económica, 2003.