Matemáticas (plan 1983) 2024-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Teoría de los Conjuntos III

Introducción

El objetivo de este curso es mostrar las ténicas básicas para construir modelos de la teoría de conjuntos. La finalidad de hacer estas construcciones es demostrar la consistencia (relativa) de algunos enunciados. Nosotros construiremos modelos para ¬AE, ¬CH, ¬GCH, AE, CH, entre otros.

Así, tenemos que hacer una repaso de lógica y en particular de modelos de fragmentos de ZFC. Luego, veremos órdenes parciales y álgebras de Boole para desarrollar la técnica de forcing (comentaremos la versión de Cohen, pero nos enfocaremos en la de Solovay). Veremos algunos ejemplos y comentaremos algunos otros para mostrar la fuerza de la técnica. Finalmente, si el tiempo lo permite, veremos el universo L de Gödel, tanto su organización como las propiedades que permitan demostrar que es modelo de AE y CH.

Temario

1.- Lógica de primer orden

• Sintaxis y semántica
• Teoremas importantes en lógica
• "Modelos" de ZFC y consistencia relativa
• Consistencia e independencia de Ax. BF

2.- Órdenes parciales y Álgebras de Boole

• Órdenes Parciales
• Álgebras de Boole
• Introducción al método de Forcing

3.- Aplicaciones de Forcing

• Independencia de CH
• Consistencia de ¬GCH
• Consistencia de ¬AE

4.- Universo L de Gödel

• Construcción del universo L
• L como modelo de ZFC
• Consistencia de AE, GCH

Evaluación

La evaluación será mediante tareas-examen que pueden realizarse en equipos de a lo más dos personas.

Bibliografía

Se utilizará la siguiente bibliografía, siendo la referencia principal:

• Jech, T. (2003). Set theory: The third millennium edition, revised and expanded. Springer Berlin Heidelberg.

y como textos complementarios:

• Kunen. K. (2013). Set Theory. Studies in Logic.
• Bell, J. L. (2011). Set theory: Boolean-valued models and independence proofs (Vol. 47). OUP Oxford.
• Bell, J. L., & Slomson, A. B. (2006). Models and ultraproducts: An introduction. Courier Corporation.
• Amor, J. A. (1999). Compacidad en la lógica de primer orden y su relación con el teorema de completud. Las prensas de Ciencias.