Encabezado Facultad de Ciencias
Presentación

Matemáticas (plan 1983) 2024-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Sistemas Dinámicos Discretos II

Grupo 4314, 23 lugares. 5 alumnos.
Profesor Renato Leriche Vázquez lu mi vi 14 a 15 P104
Ayudante Jhaziel Estrada Castellon ma ju 14 a 15 P104

 

Horseshoe Julia
Mandelbrot Set TorusFlow



Importante

El Consejo Departamental de Matemáticas informa lo siguiente:

Con relación al oficio FCIE/CDM/632/2023 con asunto Cursos Híbridos, en el cual se le informa al Consejo Técnico que un conjunto de profesores anunciaba su curso presencial como híbrido, indicando que darían su clase con tabletas y grabando en el salón, pero que los alumnos podían o no estar presentes, sin que hubiera una autorización de esta modalidad por parte del Consejo Departamental, se informa que el Consejo Departamental, en sesión extraordinaria del día 9 de agosto de los corrientes, tomó la decisión de que ningún curso puede darse fuera de la modalidad en la que fue señalada en los horarios.

Es decir, no se permite que se cambie la modalidad de cursos presenciales, entendiéndose por estos que tanto profesor(a), ayudante y alumnos asisten presencialmente a los cursos en el salón y horario asignado, por ello deben de respetarse los cupos que tienen los salones indicados en los horarios.

La decisión del Consejo Departamental no hace referencia a la forma didáctica en que el profesor pueda llevar su curso, es decir, pueden subir videos, material, etc. en sus páginas personales, sólo se hace referencia a la presencia de los referidos.

Atentamente

Consejo Departamental de Matemáticas



Información sobre este curso:

  • Presentación del curso: Lunes 14 y Martes 15 de Agosto, 14:00 hrs., en el salón P-104.
  • Inicio de clases del curso: Miércoles 16 de Agosto.
  • Inicio de ayudantías del curso: Jueves 17 de Agosto. Se empezará con dudas/repaso de temas de Sistemas Dinámicos Discretos I.
  • Este curso es en modalidad presencial, pero se compartirán las notas de las clases con lxs alumnxs.


Temario

En este curso se introduce al estudio de los sistemas dinámicos discretos en espacios de dimensiones reales mayores a 1 (ℝn, toro, plano complejo, esfera de Riemann, etc). En particular se introducirá al estudio de la Dinámica Hiperbólica de Difeomorfismos en Variedades Diferenciables y la Dinámica Holomorfa en la Esfera de Riemann. Se recordarán las definiciones de los conceptos básicos cuando sea necesario y se contrastarán los resultados estudiados en este curso con los análogos a dimensión real 1. Los temas indicados con * son opcionales, se abordarán sólo si hay tiempo e interés.



1. Sistemas Dinámicos Discretos en ℝn. (Unidad Agosto-Septiembre)

Saddle Henon Map Hopf

  1. Transformaciones lineales. Dinámica de transformaciones lineales en ℝn. Puntos silla. Subespacios Estables e Inestables. Teoremas de Hiperbolicidad.
  2. Transformaciones no lineales. La matriz Jacobiana e hiperbolicidad. Transformaciones de Hénon.
  3. Bifurcaciones. Ejemplos con bifurcaciones tangente y de duplicación del periodo. Bifurcación de Hopf.


2. Sistemas Dinámicos Discretos en variedades de dimensión mayor a 1. (Unidad Septiembre-Octubre.)

HTA Solenoid W

  1. La Herradura de Smale. Definición dinámica-geométrica de la herradura. Dinámica simbólica en la herradura.
  2. Dinámica en el Toro. Automorfismos Torales Hiperbólicos (Anosov). Subespacios Estables e Instables. Particiones de Markov.
  3. Atractores. Región de Captura. El Solenoide. Límites Inversos.
  4. Variedades Estables e Inestables. Teorema de las Variedades Estable e Inestable. Ejemplos en el plano 2D, la esfera, el toro y el espacio 3D. Conjuntos Hiperbólicos*. Estabilidad Estructural*.


3. Dinámica Holomorfa general. (Unidad Octubre-Noviembre.)

Mobius Siegel JuliaExp

  1. Funciones Holomorfas. Transformaciones de Möbius. Puntos críticos, valores críticos, polos y singularidades.
  2. Dinámica Local en Puntos Periódicos. Teoremas de Linealización. Teorema de la Flor (de Leau-Fatou). Clasificación de puntos periódicos: Atractores, Repulsores, Racional e Irracionalmente Indiferentes.
  3. Conjuntos de Julia y Fatou. Familias Normales. Teorema de Montel. Puntos Excepcionales. Propiedades y ejemplos de Conjuntos de Julia y Fatou. Componentes Periódicas de Fatou.


4. Funciones Racionales en la Esfera de Riemann. (Unidad Noviembre-Diciembre.)

RatJulia Mandelbrot Mandelbrot Feigenbaum

  1. Funciones Racionales. Caracterizaciones y propiedades de los conjuntos de Julia y Fatou. Caos y regularidad.
  2. Teoremas de Conteo. Conteo de puntos críticos. Conteo de órbitas periódicas no repulsoras. Conteo de componentes de Fatou*.
  3. La Familia Cuadrática Compleja. El conjunto de Mandelbrot. Bulbos y periodicidad. Conjetura de la densidad de hiperbolicidad*.


Prerrequisitos

Obligatorio: Haber cursado Sistemas Dinámicos Discretos I.

Deseables (no obligatorio): Haber aprobado Sistemas Dinámicos Discretos I. Haber cursado Topología I, Geometría Riemanniana I (y/ó Topología Diferencial) y Variable Compleja I.



Evaluación

Modo presencial.

  • 80%. Seis tareas-examen.

    Se permiten reposiciones, en modo examen. Para derecho a exámenes de reposición haber entregado al menos 4 tareas-examen. Para derecho a examen final, haber entregado al menos 2 tareas-examen.

  • 20%. Una exposición con duración de 30 minutos, a realizarse al final del semestre.

    Temas propuestos para exposición: el atractor de Plykin, el atractor de Hénon, el atractor de Lorenz, exponentes de Lyapunov en espacios vectoriales, sistemas de funciones iteradas, ejemplos interesantes de conjuntos de Julia, la familia cuadrática perturbada anti-holomorfa, el tricornio, cálculo de la dimensión fractal de conjuntos de Julia, las fórmulas mágicas de Douady, grupos Kleinianos, transformaciones conformes por partes, entre otros.



Bibliografía

  • Principal.
    • Devaney, Robert L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. 1989.
    • Carleson, L. & Gamelin, T.W. Complex Dynamics. 1993.
  • Complementaria.
    • Alligood, K., Sauer, T.D. & Yorke, J. CHAOS, an Introduction to Dynamical Systems. 1996.
    • Beardon, Alan F. Iteration of Rational Functions - Complex Analytic Dynamical Systems. 1990.
    • Brin, Michael & Stuck, Garrett. Introduction to Dynamical Systems. 2004.
    • Devaney, Robert L. A First Course in Chaotic Dynamical Systems - Theory & Experiments. 1992.
    • King, Jefferson E. & Méndez, Héctor. Sistemas Dinámicos Discretos. 2014.
    • Milnor, John. Dynamics in One Complex Variable.1999.
    • Robinson, R. Clark. Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos. 1995.

 


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