Matemáticas (plan 1983) 2024-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario Matemáticas Aplicadas I

1.- Objetivo del Curso

En este curso el alumno(a) aprenderá los conceptos básicos de los elementos finitos para resolver ecuaciones diferenciales parciales (EDPs) de tipo elíptico y mixtas, las cuales modelan varios fenómenos de la ciencia aplicada como son el flujo de calor y el movimiento de fluidos incompresibles. El curso dará énfasis tanto a la teoría (de forma introductoria) y a la práctica. Asimismo, a lo largo del curso el alumno(a) aprenderá a programar y utilizar el software Matlab para la resolución de las EDPs antes mencionadas.

** Una vez concluido el curso, a los mejores alumnos se les propondrá un proyecto de tesis, en el cuál se les otorgará una beca, para desarrollar a más profundidad unos de los temas relacionados con el curso.

Página del curso: Link

Para mayor información del curso enviar un email a: daniel.castanon [at] iimas.unam.mx

Página académica del profesor del curso: https://danielcq-math.github.io/

2.- Requisitos del curso

• Indispensables: Cálculo diferencial e integral en varias variables y conceptos básicos de ecuaciones diferenciales parciales.
• Deseables: Métodos numéricos. Fundamentos de programación.

3.- Temario

• Introducción:
  • Presentación y motivación del método de los elementos finitos.
  • Repaso de la integral de Lebesgue y nociones de los espacios de Sobolev.
  • Repaso de Análisis funcional. Formulación variacional de algunas EDPs.
  • Fundamentos de programación en Matlab.


• Conceptos de Elementos Finitos (EFs):
  • Nociones básicas de los elementos finitos. Definición de tríada de un elemento finito según Ciarlet.
  • Elementos finitos y su cálculo diferencial en mallas simpliciales y rectangulares.
  • Orientación de mallas. Interpolación local y global. Desigualdades inversas.
  • Elementos finitos conformes y no conformes.
  • Elemento finito para el espacio Hdiv.
  • Programación e implementación de EFs locales en Matlab.


• Aproximación de EDPs elípticas utilizando Elementos Finitos
  • Formulaciónes débiles, extistencia y unicidad. Teoremas de Lax-Milgram. Aproximación de Galerkin. Crímenes variacionales
  • Solución numérica usando EFs para la ecuación de Poisson y la ecuación de convección difusión.
  • Programación e implementación de EFs para la solución de EDPs en Matlab.


• Problemas Mixtos:
  • El problema de Stokes. Condiciones inf-sup. Aproximación Mixta. Pares de EFs estables e inestables.
  • Programación e implementación de EFs para el problema de Stokes en Matlab.
  • El problema de Navier–Stokes.
  • Herramientas para la solución numérica para el problema de Navier–Stokes.

4.- Bibliografía

• Básica:
  • Elman H., Sylvetser D., and Wathen A., Finite Elements and Fast Iterative Solvers: with Applications in Incompressible Fluid Dynamics, 2nd ed., Oxford University Press, 2014.
  • Gilat A., Matlab: An Introduction with Applications, 6th Edition, Wiley, 2017.


• Complementaria:
  • Ern A., and Guermond J.-L., Theory and Practice of Finite Elements, Springer Series in Applied Mathematical Sciences , Vol. 159 (2004) 530 p., Springer-Verlag, New York.