Matemáticas (plan 1983) 2024-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Topología B

Introducción al estudio de la Conexidad General

La mayoría de las propiedades con las cuales se estudia a los espacios topológicos son heredadas del estudio de los espacios métricos. Esto resulta natural si pensamos en el desarrollo histórico de la Topología General, pero no por ello estas propiedades son las más adecuadas para describir a los espacios topológicos.

Los teoremas de clasificación de espacios topológicos serán tan precisos o tan vagos como lo permitan las propiedades involucradas. Por esta razón el estudio de las propiedades topológicas está ligado al estudio de los espacios topológicos de un modo fundamental.

En este seminario nos enfocaremos en el estudio de la Conexidad General, una línea de investigación que tiene como primer objetivo la clasificación de los espacios topológicos. Esta línea surgió dentro de la Topología Categórica, en la cual Graciela Salicrup y Roberto Vázquez hicieron avances muy importantes.

Una herramienta que resulta fundamental para este estudio es el Álgebra de las Funciones, razón por la cual este curso también es una pequeña introducción al uso de herramientas de la Teoría de las Categorías dentro de la Topología General.

Además, mediante el uso de este lenguaje es posible exportar propiedades topológicas a otras teorías matemáticas y viceversa, por lo que este estudio tiene repercusiones dentro y fuera de la Topología.

Este es el foco de las últimas investigaciones de Roberto Vázquez, las cuales se centran primeramente en la clasificación de las Categorías mediante la conexidad para después centrarse en el estudio de las propiedades abstractas que pueden generar teoremas de clasificación absolutos dentro de todo lo que pueda ser descrito en el lenguaje de la Teoría de las Categorías.

Como se trata de un primer curso y la intención es, sobre todo, presentar los conceptos de manera clara y simple, los prerrequisitos serán mínimos.

Prerrequisitos

Álgebra Superior
Topología I
Topología II

Bibliografía

Introducción a la Topología. Graciela Salicrup.
Allgemeine Topologie. Gerhard Preuss.
Theory of Topological Structures. Gerhard Preuss.
Topologische Reflexionen und Co-reflexionen. Horst Herrlich.
Abstract and Concrete Categories. Jiri Adamek, George Strecker & Horst Herrlich.
Categorical Topology: The Complete Work of Graciela Salicrup. Horst Herrlich & Carlos Prieto.
Sobre la esencialidad del concepto de conexidad. Roberto Vázquez García.
Conglomerados saturados. Roberto Vázquez García.
Category Theory. Steve Awodey.
Categorical Closure Operators. Gabriele Castellini.

Notas del curso

Dado lo extenso de la bibliografía y los distintos niveles de la misma, el desarrollo del curso puede seguirse directamente de las notas que irán apareciendo aquí:

https://www.dropbox.com/sh/8aw1tfnvxx51zms/AAA9ApWh95T8kDjlxfLIK9Aua?dl=0

Métodos de enseñanza y forma de evaluación

Los días lunes, miércoles y viernes el profesor expondrá el material presentado en las notas del curso, poniendo especial atención en el aprendizaje de las herramientas demostrativas propias de la Topología Categórica. Durante esta exposición los alumnos podrán participar ofreciendo soluciones alternas a las que aparecen en las notas, manifestando dudas y haciendo preguntas y observaciones generales.

Los días martes y jueves el ayudante trabajará con el grupo en la resolución de los problemas que aparecen en las notas a fin de reforzar el uso de las herramientas demostrativas y de los conceptos que aparecen en las notas.

La evaluación se dará por medio de tareas-examen, una por cada capítulo de las notas.