Matemáticas (plan 1983) 2024-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Topología A

Introducción.

Un sistema dinámico (discreto) es una pareja ((X,d),f) donde (X ,d) es un espacio métrico compacto y f: X → X es una función continua de (X,d) en (X,d). Los objetos de estudio de un sistema dinámico ((X,d),f) son los conjuntos o(x,f):={ x, f(x), f(f((x))), f(f(f(x)))), ...} en donde x es algún elemento del conjunto X.

Los conjuntos o(x,f) pueden tener cierta interpretación física, aquella en donde x representa una partícula, f es una función que modela algún movimiento del espacio (X,d) en sí mismo, y o(x,f) describe el movimiento de x a través del tiempo (en el tiempo 1 la partícula se a movido al punto f(x), en el tiempo 2 la partícula se a movido al punto f(f(x)), en el tiempo 3 la partícula se a movido al punto f(f(f(x))), etc…).

Por otro lado, para todo espacio métrico compacto (X,d) se tiene un espacio métrico compacto asociado (∑(X), H) conocido como ‘’El Hiperespacio de los Subconjuntos Compactos de X’’. La colección ∑(X) consta de todos los subconjuntos compactos no vacíos de (X,d), mientras que H es una métrica muy especial la cual permite medir la cercanía (o lejanía) de dos elementos A,Bϵ∑(X) a travez de la cercanía (o lejanía) que existe entre los distintos puntos de A y B.

Observemos que dado un espacio métrico compacto X y una función continua f: X → X, para cualquier subconjunto compacto no vacío A de X se tiene que f(A) es un subconjunto compacto y no vacío de X. Es decir, para todo Aϵ∑(X) se tiene que f(A)ϵ∑(X), lo cual permite considerar la función F: ∑(X) → ∑(X) dada por la regla de correspondencia F(A) := f(A) para todo Aϵ∑(X). Resulta ser que F: ∑(X) → ∑(X) es una función continua de (∑(X), H) en (∑(X), H), de manera que todo sistema dinámico ((X,d), f) tiene el sistema dinámico asociado ((∑(X), H), F).

¿Cual es el objetivo de estudiar el sistema dinámico ((∑(X), H), F)? Pues bien, existen dos respuestas: una de índole dinámica y otra de origen topológico.

Si el sistema dinámico ((X,d),f) describe una dinámica individual de los puntos de X (cada conjunto o(x,f) describe el movimiento del punto x a travez del tiempo), el sistema dinámico ((∑(X), H), F) representa una dinámica colectiva de los puntos de X (cada conjunto o(A,F) muestra el comportamiento de un subconjunto compacto A de X a travez del tiempo). Mas aún, dado que ambos sistemas nacen a partir de los mismos datos (el espacio (X,d) y la función f), es natural preguntarse la relación que existe entre las propiedades ‘’dinámicas’’ del sistema ((X,d),f) y del sistema ((∑(X), H), F).

Por otro lado, dado un sistema dinámico ((X,d), f)), podemos considerar colecciones ‘’interesantes’’ como Φ(f):= {A: A es un subconjunto compacto no vació de X que contiene a f(A)}. Observemos que dicha familia es un subconjunto de ∑(X), por lo que podemos preguntarnos por las características del subespacio (Φ(f), H) de (∑(X), H). Desde este punto de vista, podríamos preguntarnos que diferencia existe entre los subespacios (Φ(f), H) y (Φ(g), H) de (∑(X),H) donde f y g son funciones continuas de (X,d) en (X,d).

En este curso pretendemos estudiar a fondo estas dos respuestas así como hacer una invitación a que se sumen a las activas investigaciones que se encuentran relacionadas con este tema. Es una clase ideal para aquellos que quieren un primer acercamiento ya sea a la Teoría de los Sistemas Dinámicos o a la Teoría de los Hiperespacios.

Requisitos.

Para este curso basta haber aprobado el curso de Análisis Matemático, así como dominar los temas y las técnicas de dicha clase. Aquellas herramientas de las ramas de “Sistemas Dinámicos” y de “Topología I” que nos sean necesarias para transcurrir en el tema serán debidamente introducidas y expuestas.

Evaluación.

La evaluación será acordada la primera semana de clase, aunque se basará principalmente en la realización de exámenes parciales.

Google Classroom

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