Matemáticas (plan 1983) 2024-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría A

Topología y geometría en superficies

Las n-variedades son espacios que localmente se parecen a Rⁿ, pero que globalmente pueden ser muy distintos. Las variedades aparecen naturalmente en varias áreas de las matemáticas y han sido un área de investigación muy activa por mas de un siglo.

Las superficies son las variedades de dos dimensiones, y entenderlas es la base para enfrentarse a las de dimensiones mas altas. Aunque son las mas simples están lejos de ser triviales, y en su estudio se encuentran relaciones muy interesantes entre la geometría, la topología y el álgebra.

En el seminario exploraremos varios aspectos de las superficies y aprenderemos algo de geometría no euclidiana, homotopía y homología y acciones de grupos.

El curso será evaluado con examenes parciales (80%) y tareas (20%). Los examenes no pueden cambiarse de dia ni hora, pero la calificacion mas bajae se cambia por el promedio de las tareas.

LA PAGINA DEL CURSO: https://www.matem.unam.mx/~max/seminariogeometria.html

Temario.

1. Topología en 2 dimensiones

   1. Teoremas de Jordan-Schoenflies, invariancia de los dominios, etc.

   2. Homeomorfismos e isotopías

2. Geometrías en 2 en dimensiones

   1. Geometrías homogéneas (euclidiana, elíptica e hiperbólica)

   2. Geometrías riemannianas

   3. Otras geometrías

3. Superficies

   1. Triangulaciones y la clasificación topológica

   2. Estructuras geométricas en superficies

   3. Cubiertas

   4. Invariantes

4. Curvas y geodésicas en superficies

   1. Homotopia y homologia

   2. Números de intersección geométrica y algebraica

   3. Geodésicas cerradas

5. Transformaciones

   1. Isomorfismos, homeomorfismos e isometrías

   2. El grupo de homeomorfismos de una superficie

Prerequisitos: Topología 1, algo de geometría (geo. avanzada o diferencial o riemanniana)