Matemáticas (plan 1983) 2024-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Análisis Matemático B

Requisitos: Cálculo I-IV, Ecuaciones Diferenciales I y Análisis I-II.

Temario:

I. Formulación matemática de la dinámica de fluidos.

• Hipótesis de cuerpo continuo (mapeo de flujo, coordenadas Eulerianas y Lagrangianas y Teorema de Transporte de Reynolds).
• Conservación de masa.
• Fuerzas y balance de momento.
• Balance de energía.
• Diferencia entre fluidos compresibles e incompresibles.
• El problema de Cauchy.

II. Algunas ecuaciones y soluciones clásicas relacionadas con las ecuaciones de Navier-Stokes.

• El problema de Cauchy para la ecuación de calor.
• La ecuación de Poisson.
• La descomposición de Helmholtz para campos vectoriales.
• La ecuación de Stokes.
• El tensor de Oseen.
• Formulación integro-diferencial de las ecuaciones de Navier-Stokes.
• Existencia local.
• Límites asintóticos de soluciones globales.

III. Problema de Stokes.

• Desigualdad de Necas y desigualdades de Poincaré asociadas.
• Caracterización de espacios gradientes: Teorema de De Rham.
• Existencia y unicidad del problema de Stokes.
• Descomposición de Helmholtz-Weyl.

IV. Teoremas de puntos fijos y algunas aplicaciones.

• Teorema de punto fijo de Brouwer (Lagrangianos nulos).
• Teorema de punto fijo de Schauder.
• Teoremas de punto fijo de Schäfer y Leray-Schauder.
• Teorema de punto fijo de Banach.
• Aplicaciones (Método de Galerkin y teorema de Minty-Browder).

V. Ecuaciones de Navier-Stokes estacionarias.

• Existencia.
• Unicidad para datos pequeños.
• Regularidad. (*)

Bibliografía:

• Adams, Fournier. Sobolev Spaces.
• Boyer, Fabrie. Mathematical Tools for the Study of the Incompressible Navier-Stokes Equations and Related Models.
• Bressan. Lecture Notes on Functional Analysis.
• Chipot. Elliptic Equations: An Introductory Course.
• Chipot. Elements of Nonlinear Analysis.
• Chorin, Marsden. A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics.
• Ciarlet. Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications.
• Deimling. Nonlinear Functional Analysis.
• Drabek, Milota. Methods of Nonlinear Analysis.
• Evans. Partial Differential Equations.
• Galdi. An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier-Stokes Equations.
• Gonzalez, Stuart. A First Course in Continuum Mechanics.
• Gurtin. An Introduction to Continuum Mechanics.
• Kesavan. Nonlinear Functional Analysis A First Course.
• Ladyzhenskaya. The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow.
• Lemarié-Rieusset. The Navier-Stokes Equations in the 21st Century.
• Lukaszewics Kalita. Navier-Stokes Equations.
• Majda, Bertozzi. Vorticity and Incompressible Flow.
• Robinson, Rodrigo, Sadowski. The Three-Dimensional Navier-Stokes Equations.
• Schechter. An Introduction to Nonlinear Analysis.
• Schwartz. Nonlinear Functional Analysis.
• Sohr. The Navier-Stokes Equations.
• Temam. Navier-Stokes equations.
• Zeidler. Nonlinear Functional Analysis and Its Applications.

Forma de evaluación:

El curso se evaluará con 50% tareas y 50% exámenes parciales. Llevaremos a cabo al menos tres exámenes parciales. Habrá una reposición y el alumno tendrá derecho a un examen final. El examen final estará dividido en 4 examenes de 3 horas cada uno.