Matemáticas (plan 1983) 2024-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Análisis Matemático A

Este es un curso introductorio sobre álgebras de von Neumann. Estas corresponden a ciertas subálgebras de operadores sobre un espacio de Hilbert. Estos objetos fueron creados por von Neumann en su formulacion matematica de la mecanica cuantica y en el caso conmutativo corresponden al algebra de funciones medibles y acotadas sobre un espacio de medida. Es recomendable saber fundamentos de la Teoria de la Medida.

El curso sera lo mas autocontenido posible y despues de cada clase se distriburan las notas respectivas.

Temario

1. Álgebras de von Neumann

• Toplogia debil y fuerte de operadores
• Teorema del doble conmutante de von Neumann
• Ejemplos

2. Calculo Funcional de Borel y algebras abelianas

3. El predual

• Operadores de clase de traza
• Topologia ultra debil y ultra fuerte
• Predual de un álgebra de von Neumann
• Teorema de Densidad de Kaplansky

4. Tipos de álgebras de von Neumann

• Equivalencia de proyecciones
• Compresiones
• Tipo de descomposicion

5. La traza

• Algebras traciales
• La representacion estandard
• Ultraproductos traciales
• Trazas valuadas en el centro

6. Tema a elegir por los alumnos

• Teoria ergodica
• Subfactores de Jones
• Algebras de grupo y amenabilidad
• K-teoria

Habra 4 tareas examenes parciales con puntos extras para recuperar calificacion. Ademas hay la opcion de hacer una reposicion de formal oral al final del semestre.