Matemáticas (plan 1983) 2024-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Álgebra B

Les damos la mas cordial bienvenida a nuestro seminario.

• Introducción.

Es bien sabido que la matemática está conformada por una gran cantidad de áreas que cada vez se diversifican y especializan más, sin embargo existen diferentes entes que a pesar de aparecer en distintas ramas presentan cierta similitud, para ver un ejemplo muy sencillo consideremos lo siguiente: los conjuntos y las funciones definibles entre conjuntos, los espacios vectoriales y las funciones lineales definibles entre espacios vectoriales, los espacios topológicos y las funciones continuas definibles entre espacios topológicos, los grupos y los morfismos definibles entre grupos, etc (la lista es larga), vemos que estos entes, a pesar de pertenecer a diferentes teorías, tienen en principio cierta similitud pues están conformados por objetos (conjuntos, espacios vectoriales, espacios topológicos, grupos) y morfismos o funciones entre estos objetos (funciones, funciones lineales, funciones continuas, morfismos de grupo). En realidad los fundamentos de una gran cantidad de teorías matemáticas (ciencias de la computación, topología, álgebra lineal, teoría de grupos, espacios de Banach, automátas celulares, teoría de conjuntos, etc) están construidas sobre ciertos principios generales y uno de los objetivos de estudio (entre muchos otros) de la teoría de las estructuras matemáticas es comprender estos principios generales. Por otra parte el conocimiento de las estructuras matemáticas potencia nuestra capacidad de resolución de problemas matemáticos al desarrollar diversas herramientas categóricas.

• Temario.

• Objetos y Morfismos.

• Fundamentos sobre teoría de conjuntos.
• Categorías concretas de conjuntos estructurados.
• Isomorfismos concretos.
• Fibras
• Categorías concretas de conjuntos estructurados concretamente isomorfas.
• Sub-objetos.
• Objetos cociente.
• Objetos libres.

• Estructuras iniciales y finales.

• Estructuras iniciales.
• Productos cartesianos en categorías.
• Estructuras finales.
• Objetos semi-finales.
• Un criterio para completación semi-final.

Cabe señalar que cada uno de los temas anterioes será desarrollado con suficiente detalle por lo que los prerrequisitos serán mínimos pues sólo se necesita tener un poco de experiencia con alguna estructura particular como espacios vectoriales, grupos, etc. Sería algo bueno (sin ser necesario) contar con alguna noción de espacio topológico y funciones continuas.

• Evaluación.

​En principio evaluaremos con expocisiones individuales a partir de algún ejercicio al final de cada tema. Por otra parte cada un@ podrá decidir, también (si así lo quiere), la forma en que quiera ser evaluad@, de esta manera la calificación final será el promedio de las calificaciones de cada una de las actividades encomendadas. Tendrán derecho a reponer las actividades en las que no tengan calificación aprobatoria o realizar actividades para incrementar su promedio.

• Bibliografía.

​ Adámek, Jirí.Theory Of Mathematical Structures. Prague, 1983.

• Aspectos importantes.

No se podrá aprobar el curso con alguna actividad no aprobada o no entregada. Tendremos todo el gusto de atender sus comentarios, dudas o sugerencias referentes al curso, sin excepción alguna. En otras ocasiones hemos armado un grupo de WhatsApp para hacer más ameno y dinámico el semestre en cuanto a dudas y comentarios relacionadas al curso, habremos de sugerirlo en el seminario para quiénes quieran unirse (sin ser obligatorio). Nosotros les compartiremos cualquier texto o libro que uticemos durante el semestre, aunque cada un@ será libre de usar el texto que guste.

Queda para ustedes (de manera legal) y descargable el libro:
Matematicás Conceptuales, 2nd ed, 2014, traducción par Francisco Marmolejo de Conceptual Mathematics, a first introduction to categories, second edition (Cambridge University Press 2009) par F. William Lawvere y Stephen H. Schanuel

(Bibliografía auxiliar para el curso) en el siguiente link:

https://www.acsu.buffalo.edu/~wlawvere/

• Contacto.

​arcero.618@ciencias.unam.mx (profesor). saalsol@ciencias.unam.mx (ayudante).