Matemáticas (plan 1983) 2024-1

Optativas de los Niveles V y VI, Lógica Matemática I

Programa de Lógica Matemática I Ma. Asunción Preisser R.

I. Enunciados.

Proposiciones abiertas y cerradas.

Enunciados simples y compuestos (atómicos y moleculares).

Estructura de enunciados moleculares.

Un lenguaje formal para enunciados. Simbolizaciones.

II. Condiciones de verdad para enunciados.

Funciones de verdad. Tablas de verdad.

Tipos de enunciados: tautologías, enunciados contingentes, contradicciones lógicas.

Equivalencia lógica. Negación de enunciados.

III. Métodos de demostración.

Métodos directos.

*”Directo directo”

*Condicionalización.

*Vacuidad.

*Prueba por casos.

Métodos indirectos.

*Reducción al absurdo.

*Contrapositiva.

IV. Consistencia de conjuntos de enunciados.

V. Consecuencia lógica.

Concepto de consecuencia lógica. Decidibilidad y dependencia de enunciados.

Metateoremas (resultados generales) que relacionan los conceptos de consecuencia lógica, consistencia, decidibilidad, dependencia, tautología.

VI. Sistemas axiomáticos formales y no formales.

Lenguajes naturales y lenguajes formales. Lenguaje y metalenguaje.

Un sistema axiomático formal para enunciados L. Teoremas y deducciones en L.

Metateoremas de corrección, consistencia y completud del sistema formal L.

Bibliografía. Cap. 1 de Introduction to Mathematical lógic. Mendelson, E. 4ta Ed.

Chapman&Hall, 1997 y CRC Press, 2001

Introducción a la Lógica matemática. Suppes-Hill. Reverté, 1999

Nota sobre la bibliografía. Es posible acceder en línea a los materiales que el curso requiere.

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Las clases serán en el horario asignado a esta materia incluyendo las ayudantías, y utilizaremos también Classroom para subir materiales de los diversos temas. Las evaluaciones serán por medio de exámenes frecuentes y tareas resueltas en clase por los alumnos, de modo que al final la calificación será el promedio del trabajo del alumno a lo largo del semestre.

Si necesitan comunicarse, mi correo está al final de este documento. Ma. Asunción Preisser R.

Acerca del programa de Lógica I.

Podemos decir que hay dos propósitos de llevar la materia de Lógica: estudiarla en sí misma como una disciplina matemática, o estudiarla porque es importante para entender muchas veces la estrategia que uno debe seguir en las demostraciones de las materias de la carrera. Sea cual sea el propósito que uno persiga, este programa es un muy buen inicio en ambas direcciones.

Enseguida mencionaremos varios puntos que nos parecen importantes de cada tema del programa.

Del Tema I. Es importante conocer cómo trabajar con enunciados en abstracto, pues todos los teoremas y las afirmaciones matemáticas lo son. Y es importante obtener su estructura, no importa si hablan de topología o geometría o cálculo etc. Al obtener estructuras estudiamos de un solo golpe muchos enunciados que posean una determinada estructura común.

Del Tema II. La verdad es siempre importante, queremos siempre saber si una afirmación es verdadera o falsa. Y hay criterios para saberlo acerca de enunciados complejos. También es importante conocer otras maneras de decir lo mismo (equivalencias). Las tautologías expresan ciertas formas de pensamiento que algunos llaman “leyes lógicas”. Veremos también paradojas, que son enunciados lógicamente contradictorios y que han ocupado un lugar en la historia de las Matemáticas, por ello es importante también conocer las típicas contradicciones lógicas.

Del Tema III. Creemos que es claro que para nosotros es necesario conocer con detalle la diferencia entre los métodos de demostración y cómo se aplica cada uno. Es una parte muy importante para los alumnos de Ciencias.

Del Tema IV. La consistencia de conjuntos de afirmaciones es ausencia de contradicción. ¿Por qué es importante? Veremos su importancia en varios terrenos.

Del Tema V. Este tema es muy importante pues siempre usamos la consecuencia lógica al hablar de consecuencias de teoremas, de teoremas a partir de los axiomas, etc. Nos clarifica un concepto que hemos usado siempre pero que ahora será nuestro objeto de estudio.

Del Tema VI. Este tema es muy interesante porque muestra de manera muy “limpia” lo que es trabajar de manera estricta con axiomas. Y cómo es posible exhibir “las reglas de razonamiento utilizadas” cosa que no sucede en otras materias donde en las demostraciones no las exhibimos y muchas veces no nos damos cuenta de cuáles estamos usando.

Además, al demostrar las propiedades de un sistema axiomático, podremos conocer la importancia de estas propiedades para cualquier otro sistema semejante.

Pensamos que podemos iniciar la comunicación entre alumnos y nosotros a través de correo-e para resolver cualquier duda aun antes de comenzar el semestre. Por favor, en “asunto” escriban “Lógica I UNAM”

Mi correo es asun_preiss@yahoo.com .mx

Atentamente

Ma. Asunción Preisser R.