Matemáticas (plan 1983) 2024-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Geometría Riemanniana I

Aviso:

Quien desee presentar examen final, por favor enviar un correo a la brevedad al correo roman.contreras@ciencias.unam.mx .

https://hiperboli.co/cursos/riemanniana/2024-1

Objetivo: presentar las variedades diferenciables (espacios localmente indistinguibles del espacio euclidiano) desde el punto de vista métrico, dando aplicaciones a la física.

Requisitos: aunque sólo sea necesario haber cursado Cálculo 4, Álgebra Lineal 1,2 y Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, es deseable que los alumnos tengan cierta familiaridad con las definiciones básicas de análisis (métricas, definiciones generales de conexidad y compacidad). En todo caso la presentación se ajustará a la experiencia de los alumnos.

Introducción: las variedades diferenciables constituyen la familia de objetos más importante para las matemáticas del siglo XX. Por un lado, son los objetos de estudio funamentales para la topología y la geometría y son el ambiente en que se definen y se estudian las ecuaciones diferenciales que motivan el desarrollo del análisis. Por otro lado, prácticamente toda teoría física tiene como punto de partida una variedad diferenciable que representa el espacio-(tiempo) donde se mueven los objetos y se propagan los campos de fuerza que determinan el movimiento de estos. Las métricas riemannianas son la principal herramienta que permite definir y calcular la distancia entre dos puntos en una variedad diferenciable, de ahí su crucial importancia.

Temario: trataremos de cubrir el temario oficial pero lo complementaremos con más ejemplos y aplicaciones a la física que permitan apreciar la utilidad y la relevancia de los conceptos estudiados. Por ejemplo, mencionaremos la descripción del movimiento de un cuerpo rígido en el vacío en términos de geodésicas en un espacio curvo, veremos varios modelos del espacio hiperbólico, su relación con el espacio de Minkowski y algunas métricas de Lorentz que surgen en relatividad general.

Bibliografía: el libro más usado es Riemannian Geometry de M. do Carmo pero puede resultar muy sucinto y abstracto, por ello también usaremos Curvature in Mathematics and Physics de S. Sternberg e Introduction to Riemannian Manifolds de John M. Lee.

Así mismo, recomendamos consultar los volúmenes 1 y 2 de A Comprehensive Introduction to Differential Geometry de M. Spivak para tener una idea del desarrollo histórico de estas ideas.

Evaluación:

• Cuatro tareas examen que representarán el 60% de la calificación. Se dará una semana completa para la realización de cada tarea.
• Doce tareas cortas que representan el 40% de la calificación. Estas tareas constarán de 3 o 4 ejercicios sencillos cuyo objetivo es incentivar el aprendizaje activo. Serán considerablemente más fáciles que las tareas examen y se asignarán en las semanas en las que no haya tarea examen.
• Dependiendo del tiempo, es posible que se dejen ejercicios adicionales en las tareas y tareas examen, con la finalidad de que puedan mejorar su calificación

Durante la primera semana del semestre discutiremos brevemente las materias que han cursado y las expectativas que tengan del curso, con la finalidad de hacer ajustes pequeños al temario, velocidad de exposición y modo de evaluación.