Matemáticas (plan 1983) 2024-1

Optativas de los Niveles V y VI, Geometría Diferencial II

El curso continúa con el estudio de las propiedades diferenciables, locales y globales, de superficies suaves en R^3.

Dinámica del curso. Los martes, miércoles y viernes serán para teoría; y los lunes y jueves (ayudantías), para realizar ejercicios que ayuden a reafirmar la teoría.

Evaluación. Cada dos semanas se dejará una tarea-examen. La calificación final será el promedio de las tareas-examen. No hay reposiciones. Podrán presentar (una única vez) el examen final quienes hayan entregado más del 80% de las tareas-examen, y la calificación obtenida en el examen final será la calificación definitiva. La calificación NP únicamente se otorgará a quien entregue menos del 50% de tareas-examen.

Requisito. Haber cursado los cuatro cálculos y geometría diferencial I.

Programa.

I. Geometría intrínseca

• Isometrías.
• Teorema Egregio.
• Fórmulas de Mainardi-Codazzi.
• Teorema fundamental de la teoría local de superficies (enunciado)
• Transporte paralelo; derivada covariante.
• Geodésicas. Invariancia de las geodésicas bajo isometrías.

II. Geometría global

• Superficies completas.
• Teorema de Hopf-Rinow.
• Primera y segunda variaciones de la longitud de arco.
• Campos de Jacobi y puntos conjugados.
• Superficies de curvatura constante.
• Teorema de Hadamard.

III. Superficies completas con curvatura constante

• Curvatura positiva: Teorema de Rigidez de la Esfera.
• Curvatura nula: Teorema de Massey.
• Curvatura nula: Teorema de Hilbert.

Bibliografía:

• Do Carmo M. P., Differential Geometry of Curves and Surfaces in R^3, New Jersey: Prentice Hall, 1976.
• Struik D. J., Lectures on Classical Differential Geometry: Second Edition, Dover Publications, 1988.
• Hilbert D., Cohn Vossen S., Geometry and the Imagination, AMS Chelsea Publishing, 1999.
• Spivak. M. A., A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Tomo II, Texas: Publish or Perish, 1999.
• O’Neill B., Elementary Differential Geometry, San Diego: Academic Press, 1997.
• Pogorelov A.V., Geometría Diferencial, Moscú: MIR, 1977.