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IngresarMatemáticas (plan 1983) 2024-1
Optativas de los Niveles VII y VIII, Análisis Matemático III
| Profesor | Miguel Arturo Ballesteros Montero | lu mi vi | 13 a 14 | 201 (Nuevo Edificio) |
| Ayudante | Fedro Guillén Garza Ramos | ma ju | 13 a 14 | 201 (Nuevo Edificio) |
En este curso se van a introducir los conceptos fundamentales del análisis funcional para dotar al alumnado de las herramientas básicas necesarias. En la medida de lo posible, se buscará aplicar estas herramientas para introducirnos a la teoría espectral, la cual se puede entender como una generalización del teorema espectral del álgebra lineal a espacios de dimensión infinita. El curso será completamente riguroso, y todas las demostraciones se darán con detalle. Se buscará avanzar de manera que el grupo pueda maximizar el aprovechamiento de los temas impartidos.
El análisis funcional es una rama de las matemáticas que, debido a su amplitud y alcance, tiene aplicaciones en diversas áreas de la matemática moderna, como la teoría de la probabilidad, las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, el análisis complejo, entre otras. También es muy útil para estudiar los fundamentos matemáticos de áreas aplicadas como la inteligencia artificial, la mecánica cuántica y los métodos numéricos. Un estudiante que se familiarice con esta área tendrá más facilidad para abordar temas avanzados y obtendrá una formación más completa. Además, dado que el profesor y su grupo son especialistas en análisis funcional, teoría espectral y teoría de operadores, este curso permitirá que los estudiantes se desarrollen hasta el nivel que estén buscando.
Temario:
Los textos principales que se utilizarán en el curso son "Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations" de Haim Brezis, y "Functional Analysis" de Walter Rudin. El temario propuesto para el curso es el siguiente:
- Espacios de Banach: Teoría general y teoremas clásicos: Hahn Banach, Banach-Steinhauss, mapeo abierto/gráfica cerrada.
- Álgebras de Banach: La teoría básica y lo necesario para construir el cálculo funcional continuo.
- Espacios de Hilbert: Geometría de los espacios de Hilbert, bases ortonormales, operadores en espacios de Hilbert, teorema de representación de Riesz, el adjunto de un operador, introducción a la teoría espectral.
Lo que se aborde en el curso dependerá en gran medida del ritmo del grupo, por lo que es posible que, en ciertas circunstancias, se cubra más o menos de lo planteado aquí.
Evaluación:
A lo largo del curso se dejarán dos tareas, las cuales no son para entregar, pero de cada una se seleccionarán a lo más dos ejercicios para evaluar en forma de exámenes presenciales. También es posible reemplazar el último examen por una presentación oral presencial sobre un tema relacionado con las áreas tratadas en el curso propuesto por el estudiante. En los exámenes se otorgará suficiente tiempo para que los estudiantes puedan realizarlos de manera adecuada y sin presiones. Además, será posible reponer todos los exámenes de manera que siempre se tomará la calificación más alta. La calificación final se calculará como el promedio de las calificaciones obtenidas en ambos exámenes o reposiciones, dependiendo de cuál sea la más alta, o el promedio de la calificación del primer examen o reposición y la calificación de la presentación.
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