Matemáticas (plan 1983) 2024-1

Optativas de los Niveles I, II, III y IV, Álgebra Geométrica

En este curso estudiaremos los temas esenciales de Álgebra Geométrica.

Usaremos como apoyo la plataforma classroom. El código de clase es vfd4hy4. Tambien pueden dar clic aquí para usar el enlace de invitación.

Las clases serán presenciales en el salón de clase asignado donde se expondrá la teoría y algunos ejemplos. Algunas de las ayudantías serán en las aulas de computo del Amoxcali (sujeto a disponibilidad de las aulas).

Seguiremos el temario oficial con algunas modificaciones:

1. Geometrı́a Afı́n y Geometrı́a Proyectiva

   1. Los primeros tres axiomas

   2. El grupo de transformaciones

   3. Construcción del campo que da coordenadas

   4. Introducción de coordenadas

   5. La Geometrı́a Afı́n de un campo dado

   6. El Teorema de Desargues

   7. El Teorema de Pappus y la conmutatividad

   8. Geometrı́a ordenada

   9. Planos proyectivos finitos

   10. Cuadrados grecolatinos y su relación con los planos proyectivos finitos

2. Geometrı́a Simpléctica y Geometría Ortogonal

   1. Estructuras métricas sobre espacios vectoriales

   2. Definiciones de las geometrı́as Simpléctica y Ortogonal

   3. Propiedades comunes a ambas

   4. Caracterı́sticas distintivas de cada una

   5. Geometrı́a sobre un campo finito

   6. Geometrı́a sobre un campo ordenado

   7. Teorema de Sylvester

3. El grupo lineal general

   1. Determinantes sobre campos no conmutativos

   2. La estructura de GL(n, k)

   3. Espacios vectoriales sobre campos finitos

4. Estructura de los Grupos Simpléctico y Ortogonal

   1. Estructura del Grupo Simpléctico

   2. El grupo ortogonal de orden 3

   3. Espacios elı́pticos

   4. El Álgebra de Clifford

   5. La norma espinorial. Los casos de dimensión mayor o igual que 4

   6. Estructura del grupo Ω(V )

Evaluación

• Tareas semanales 70 %
• Exámenes 30%.

En la primera sesión se podrá acordar una modificación a los porcentajes.

Bibliografía básica:

• Geometric Algebra, E. Artin. New York : Interscience, 1988, c1957
• Clifford Algebra to Geometric Calculus A Unified Language for Mathematics and Physics, David Hestenes and Garret Sobczyk
• Understanding Geometric Algebra, Hamilton, Grassmann, and Clifford for Computer Vision and Graphics, Kenichi Kanati.
• Geometric Algebra Applications, Eduardo Bayro-Corrochano. Cham: Springer, 2019.

Todos estos libros están disponibles de manera gratituita con su cuenta de la biblioteca de la UNAM, si no la tienen la pueden sacar en este enlace, ahí mismo pueden buscar los libros y descargarlos.