Encabezado Facultad de Ciencias
Presentación

Matemáticas (plan 1983) 2024-1

Quinto Semestre, Álgebra Moderna I

Grupo 4196, 55 lugares. 26 alumnos.
Profesor José Eduardo Simental Rodríguez lu mi vi 17 a 18 O221
Ayudante Luis Adrián Nava Rosas ma ju 17 a 18 O221

 
Descripción del curso: El objetivo principal del curso es dar una introducción a la teoría de los grupos y su relación con otras áreas de las matemáticas. Además de la teoría, se pondrá especial énfasis en ejemplos que, por un lado, ilustren la teoría y, por el otro, sean testigos de la gran flexibilidad que la teoría de grupos tiene para interactuar con otras áreas de las matemáticas.
Libro de texto: Utilizaremos principalmente dos libros:
  • Joseph J. Rotman, An introduction to the theory of groups, 4th Edition. Graduate Texts in Mathematics 148, Springer-Verlag.
  • Michael Artin, Algebra, 2nd edition. Prentice Hall.
Cubriremos los Capítulos 1, 2, 3, 4 y 6 del libro de Rotman, así como los capítulos 2, 6, 7 y 10 del libro de Artin.
Temario:
1. Grupos (Rotman Capítulo 1; Artin 2.1-2.4 y 6.1-6.5)
1.1. Definición
1.2. Grupos simétricos
1.3. Grupos diédricos
1.4. Grupos de matrices
1.5. Grupos libres
1.6. Subgrupos. Grupos alternantes
1.7. Clases laterales y Teorema de Lagrange
2. Morfismos de grupos (Rotman Capítulo 2; Artin 2.5-2.12)
2.1. Definición de morfismo, epimorfismo, monomorfismo y kernel.
2.2. Grupos normales
2.3. Grupos cociente.
2.4. Teoremas de Isomorfismo de Noether
2.5. Presentación por generadores y relaciones
2.6. Automorfismos
2.7. Productos directos y semidirectos
3. Acciones de grupos (Rotman Capítulo 3; Artin 6.7-7.2)
3.1. Definición
3.2. Órbitas y estabilizadores
3.3. Acción por conjugación. La ecuación de clase.
3.4. Grupos de simetrías
3.5. Teorema de Cauchy
3.6. Acciones lineales
4. Teoremas de Sylow (Rotman Capítulo 4; Artin 7.3, 7.7)
4.1. p-grupos
4.2. Teoremas de Sylow
4.3. Grupos de orden pequeño
5. Grupos abelianos (Rotman Capítulo 6)
5.1. El teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados
5.2. Forma canónica de Jordan
6. Introducción a la teoría de representaciones (Artin Capítulo 10)
6.1. Definición
6.2. Representaciones irreducibles y completamente reducibles
6.3. Teorema de Maschke
6.4. Funciones de clase y caracteres
6.5. Ortogonalidad de caracteres
6.6. Resolución de ecuaciones utilizando caracteres
Calificación: Habrá tareas a entregar cada dos semanas, éstas contarán por el 60% de la calificación. El 40% restante se evaluará por medio de un trabajo escrito en el que los estudiantes desarollen alguna conexión de la teoría de grupos con un área de las matemáticas (incluyendo álgebra). Algunos ejemplos son:
  • Grupos en topología (grupo fundamental, ejemplos y cálculos)
  • Grupos abelianos infinitos (grupos divisibles, grupos de Prüfer, espacios vectoriales sobre Q)
  • Grupos de simetrías (grupos de papel tapiz, grupos en arte)
  • Grupos en música (sistemas generalizados de intervalos)
La decisión del tema se hará por el profesor y estudiante, tomando en cuenta las preferencias de la, él o le estudiante. Dependiendo del número de estudiantes, esto se podrá hacer en equipos.
El trabajo escrito podrá ser entregado en repetidas ocasiones, en caso de ser necesario hacer correcciones. Una línea de tiempo sugerida es:

Antes del 26 de Agosto: Platicar con el profesor para elegir un tema y temario.

Antes del 29 de Septiembre: Entrega de avance parcial.

Antes del 27 de Octubre: Entrega de avance parcial.

Antes del 17 de Noviembre: Entrega del primer borrador.

Antes del 8 de Diciembre: Entrega del trabajo final.

Página web del curso: José Simental Rodríguez - Álgebra Moderna I (2024-1) (google.com)
Clave de Google Classroom: u4eaky2

 


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