Matemáticas (plan 1983) 2024-1

Cuarto Semestre, Ecuaciones Diferenciales I

Reglas y Programa

Se calificará en base a exámenes parciales o tareas correspondientes a los temas del curso. Para cada examen parcial se entregará una lista de problemas y ejercicios de donde salen las preguntas del examen.

Todos los temas deberán tener calificación aprobatoria. Al final del curso podrán presentarse reposiciones de hasta tres parciales.

El temario se agrupará como se indica a continuación, entre paréntesis se indica si se calificará con tarea o con examen y la fecha tentativa de entrega o de presentación.

1. Introducción (Tarea, entrega 21 de Agosto).

• Campos direccionales y su ecuación diferencial asociada

• Espacio fase, solución y retrato fase de una ecuación diferencial.

• Ejemplos de métodos geométricos para analizar el retrato fase de una ecuación diferencial.

2. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (Examen parcial, 11 de septiembre)

• Ecuaciones homogéneas.

• Ecuaciones no homogéneas y métodos de variación de parámetros.

• Ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden

• Ecuaciones separables, ecuaciones exactas y el método del factor integrante.

• Aplicaciones: Decaimiento radioactivo, Interés continuo, modelos poblacionales, mecánica, mezcla perfecta, trayectorias ortogonales, epidemiología, ley de enfriamiento de Newton, cinética química, etre otros.

3. Teorema de Existencia y Unicidad de Picard. (Tarea, entrega 2 de octubre)

• Ecuación integral, iterados de Picard.

• Convergencia de los iterados de Picard.

• Lema de Gronwall, dependencia de las condiciones iniciales.

• Métodos numéricos (se usará MATLAB o Python)

• Ecuaciones lineales en diferencias.

• Método de Euler. Error de método de Euler

• Métodos de Runge-Kutta.

4. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden (Examen parcial, 23 de octubre)

• Ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes.

• Propiedades del conjunto de soluciones, Independencia lineal de soluciones, wronskiano. Solución general.

• Ecuaciones no homogéneas, métodos de variación de parámetros (coeficientes indeterminados).

• Interpretación geométrica de las soluciones en el plano, ejemplos.

• Vibraciones mecánicas.

• Oscilaciones amortiguadas y forzadas, resonancias.

• Transformada de Laplace y de Fourier. Métodos de solución y aplicaciones para resolver ecuaciones de segundo orden.

5. Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables (Tarea, entrega 3 de noviembre)

• Métodos de solución por series de potencia.

• Cálculo del radio de convergencia.

• Ecuaciones singulares y el método de Frobenius.

• Ejemplos de ecuaciones de Hermite, Laguerre, Euler, Bessel, Legendre, Tchebycheff, Ecuación Hipergeométrica.

6. Sistemas de ecuaciones de primer orden lineales. (Examen parcial, 21 de noviembre)

• Reducción de ecuaciones de orden n a un sistema de n ecuaciones de primer orden, ejemplos.

• Sistema de ecuaciones de primer orden homogéneas.

• Soluciones lineales independientes.

• Ecuación del wronskiano y su solución.

• Matriz fundamental y solución general.

• Ecuaciones con coeficientes constantes, exponencial de una matriz, valores y vectores propios.

• Núcleo de la matriz y vector propio generalizado, teorema de Cayley-Hamilton.

• Sistema de ecuaciones de primer orden no homogéneas.

• Método de variación de parámetros, ejemplos.

• Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones homogéneas de primer orden caso con coeficientes constantes y coeficientes continuos.

• Aplicaciones, osciladores acoplados y modos normales de oscilación.

7. Introducción a la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales (Tarea, entrega 1 de diciembre)

• Estabilidad de la solución de equilibrio de sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes.

• Clasificación de los puntos de equilibrio en el plano y en el espacio.

• Plano fase.

• Linearización alrededor de los puntos de equilibrio de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales.

• Descripción cualitativa de los conjuntos límites y el Teorema de Poincaré Bendixon en el plano.

• Dibujo cualitativo del plano fase, ejemplos