Matemáticas (plan 1983) 2024-1

Tercer Semestre, Álgebra Lineal I

Evaluación:

• A lo largo del semestre haremos cuatro o cinco exámenes. La calificación final será el promedio de las calificaciones de los exámenes.

• Antes de cada examen se dejará una guía para ayudar a prepararse. Las guías no tienen valor en la calificación, pero los ejercicios de cada examen serán similares a los de la guía.

• Se pueden reponer hasta dos exámenes. La calificación que se queda es la mayor entre la calificación del examen y la de la reposición.

• Todo estudiante tiene derecho a presentar un examen final, cuya calificación sustituye al promedio de los exámenes sin importar si esta es mayor o menor.

Contenido Temático:

1 Espacios vectoriales

• 1.1 Campos.

• 1.2 Espacios vectoriales.

• 1.3 Subespacios vectoriales.

• 1.4 Dependencia lineal.

• 1.5 Bases y dimensión.

• 1.6 Sumas directas.

2 Matrices

• 2.1 El espacio de las matrices.

• 2.2 Multiplicación de matrices. Matrices elementales. Matriz inversa.

• 2.3 Sistemas de ecuaciones lineales.

3 Transformaciones lineales

• 3.1 El espacio de las transformaciones lineales.

• 3.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal.

• 3.3 Composición de transformaciones lineales.

• 3.4 La transformación inversa.

• 3.5 Espacios isomorfos.

• 3.6 La transformación lineal asociada a una matriz.

• 3.7 La matriz asociada a una transformación lineal.

• 3.8 Isomorfismos entre el espacio de matrices y el de transformaciones lineales.

• 3.9 Cambios de base.

4 Producto escalar

• 4.1 Productos escalares y hermitianos.

• 4.2 Ortogonalidad.

• 4.3 Productos positivos, normas y ángulos.

• 4.4 Coeficientes de Fourier.

• 4.5 Bases ortogonales (caso positivo).

• 4.6 Complemento ortogonal de un subespacio. Aplicación a los sistemas de ecuaciones.

• 4.7 Bases ortogonales (caso general).

• 4.8 Espacio dual.

5 Determinantes

• 5.1 Unicidad del determinante.

• 5.2 Determinante de un producto.

• 5.3 Invertibilidad de matrices y determinantes.

• 5.4 Determinante de un operador lineal.

6 Transformaciones simétricas

• 6.1 Definición y propiedades elementales de valores y vectores propios.

• 6.2 Polinomio característico.

• 6.3 Existencia de valores propios reales de transformaciones simétricas.

• 6.4 Teorema espectral para transformaciones simétricas.

• 6.5 Ejemplos.

Bibliografía:

Seguiremos principalmente dos libros que, junto con las guías para los exámenes se compartirán en el classroom del curso:

https://classroom.google.com/c/NjEzNzgxMTk3NzUz?cjc=ie7rpok

• Hugo A. Rincón Mejía, Álgebra lineal, Las prensas de ciencias, 2011.

• Stephen H. Friedberg, Arnold J. Insel, Lawrence E. Spence, Linear Algebra, Pearson, 2019.