Matemáticas (plan 1983) 2024-1

Segundo Semestre, Cálculo Diferencial e Integral II

Cálculo Diferencial e Integral II

Grupo: 4104 ; Semestre: 2024-1

Profesor: David Guerrero Sánchez

Ayudante: Eduardo A. Solís Cruz

Presentación:

El cálculo integral se remonta a la antigua Grecia con el Método de agotamiento inventado por Eudoxio (390 a. C. - 337 a.C.), posteriormente desarrollado por Arquímedes (287 a. C. - 212 a. C.) para calcular áreas y volúmenes de figuras geométricas, quizá su cálculo más famoso fue el área bajo la curva de la parábola.

Posteriormente el trabajo de Leibnitz y Newton permitió no solo establecer un método para realizar tales cálculos, sino que además encontraron la relación existente entre los conceptos de derivada e integral.

Actualmente las aplicaciones del concepto de integral son muy extensas y se aplican en una gran variedad de campos de estudio.

En este curso tendremos los siguientes objetivos:

Objetivo general:

• Introducir al estudiante a los conceptos y métodos del cálculo integral, poniendo énfasis en la idea de límite como herramienta indispensable para modelar fenómenos relativos al cambio, mediante la presentación formal de demostraciones y ejercicios.

Objetivos específicos:

• Explicar el concepto y las propiedades de la integral.

• Reconocer la relación entre la derivada y la integral a través del teorema fundamental del cálculo.

• Explicar el concepto y las propiedades de las funciones logaritmo y exponencial.

• Conocer el concepto y las propiedades de las funciones trigonométricas a través de la integral.

• Aplicar los principales métodos para integración de funciones.

• Identificar algunas aplicaciones físicas y geométricas de la integral.

• Ampliar el concepto de series y sucesiones. Comprender los resultados que establecen las condiciones para su existencia.

El curso se divide en los siguientes cinco bloques que estudiaremos de acuerdo al plan de horas propuesto por el programa de la materia, mismo que se puede descargar aqui.

La tabla muestra los bloques en los que dividiremos el curso y la cantidad de horas que se dedicará a cada uno.

Temario

Bloque 1. La Integral Definida

• Ejemplos que conducen al concepto de integral definida (área bajo una curva, trabajo).

• Sumas superiores e inferiores o de Riemann.

• Definición y ejemplos de la integral definida de una función continua.

• Propiedades básicas de la integral definida.

• Teorema del valor medio para la integral.

• Ejemplos de funciones integrables con un número finito de puntos de

• discontinuidad.

• Ejemplos de funciones integrables con un número infinito de puntos de

• discontinuidad.

• La función de Riemann.

Bloque 2. Teorema Fundamental del Cálculo

• La integral como función del límite superior (integral indefinida).

• Propiedades de la integral indefinida.

• Demostración de los teoremas fundamentales del cálculo.

• Integración directa.

• Integrales impropias.

• Criterios de convergencia de las integrales impropias.

Bloque 3. Funciones definidas mediante la integral

• Definición de la función logaritmo a través de la integral.

• Propiedades de las funciones logarítmicas.

• La función exponencial como inversa de la función logaritmo.

• Propiedades de las funciones exponenciales.

• Derivación logarítmica.

• Funciones que sólo pueden expresarse en términos de una integral: Funciones elípticas.

• Definición de 𝜋 por medio de una integral.

• Propiedades de las funciones trigonométricas.

• Funciones trigonométricas inversas.

Bloque 4. Métodos de Integración

• Métodos de sustitución o cambio de variable.

• Integración por partes.

• Teorema del valor medio para integrales.

• Polinomios de Taylor y forma de Cauchy del residuo.

• Fracciones parciales; método de coeficientes indeterminados para la integración de funciones racionales.

• Métodos numéricos de integración.

Bloque 5: Aplicaciones y series

• Cálculo de áreas de regiones planas.

• Área en coordenadas polares.

• Longitud de una curva y distancia recorrida por una partícula.

• Volumen y área de sólidos de revolución.

• Trabajo, densidad y masa.

• Cálculo de momentos.

• Problemas de decaimiento radioactivo, ley de Malthus, oscilación de un resorte, ecuación logística.

• Definición y ejemplos de sucesiones y series convergentes y no convergentes.

• Criterios de convergencia para sucesiones y para series con términos positivos.

• Series alternantes y convergencia absoluta de una serie.

• Criterio de Leibniz.

• Reordenamiento de los términos de una serie.

• Ejemplos elementales de series de potencias.

• Ejemplos de series de Fourier.

Evaluación

Se entregarán una serie de problemas por cada bloque del temario de la que se obtendrá el promedio final con opción a reponer mediante examen máximo dos series, o dos oportunidades para presentar examen final en las fechas marcadas por el calendario y en el salón y horario designados.

La entrega de las series se hará a través de la plataforma de Google Classroom o por el medio que se acuerde en clase.

Las series deberán ser entregadas en el salón de clase o mediante el medio que se acuerde y sin retraso o fuera del plazo de entrega.