Matemáticas (plan 1983) 2024-1

Primer Semestre, Geometría Analítica I

Información general del curso

• El curso será presencial y tendrá lugar en el salón 106 del edificio Yellizcalli
• La primera clase será el lunes 14 de agosto
• Usaremos la plataforma google classroom para comunicarnos. El enlace está aquí.

Introducción

El presente curso tiene como objetivo básico dar una introducción a algunas ideas de la geometría clásica desde el punto de vista analítico, esto es, con el método introducido por René Descartes y Pierre de Fermat, en el cual se hace una asociación de coordenadas a los puntos del plano, lo que hace que los lugares geométricos en el espacio en cuestión estén determinados por ecuaciones, y que las distintas transformaciones de objetos geométricos se puedan escribir usando funciones. Este método, complementario a la versión sintética de la geometría ampliamente desarrollada desde la antigüedad por la escuela griega, tiene como ventaja el uso de ideas matemáticas modernas como lo son el cálculo y álgebra, lo que permite obtener nuevas pruebas para algunos resultados básicos de la geometría, así como una nueva forma de abordar problemas geométricos.

Dicho esto podemos dividir el curso en dos partes, la primera está destinada a estudiar los fundamentos y herramientas básicas de la geometría analítica en el espíritu de Descartes y Fermat, por lo que discutiremos a todo detalle la noción de plano cartesiano y distintas nociones en torno a esta, además de que estudiaremos algunos temas de trigonometría elemental (ver temas 1, 2 y 3 del temario). La segunda parte del curso tiene que ver con estudiar aquellos espacios en los que es posible hacer geometría desde un enfoque vectorial, como en el plano y el espacio, lo que tiene como objetivo dar una pequeña introducción a la noción de geometría propuesta por Felix Klein en su famoso ``programa de Erlangen''. Los temas a destacar en esta sección es el estudio de la noción de espacio vectorial, así como un estudio mucho más cuidadoso de rectas y planos en $\mathbb{R}^n$, haciendo énfasis en el caso de $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$ (ver temas 4 y 5 en el temario).

Temario

En el deseo de que el curso sea lo más autocontenido posible, incluiremos algunos temas que si bien se ven en otras materias, el uso que les vamos a dar suele ser previo a que estos sean vistos en la materia correspondiente, por tal razón y con el objetivo de fijar notación, los incluiremos en el curso. Por lo tanto el temario es esencialmente el temario oficial salvo por algunas pequeñas modificaciones.

1. Preliminares

• Álgebra de conjuntos
• Relaciones y funciones
• El plano y espacio cartesianos: Definición, distancia entre puntos y simetrías asociadas a subconjuntos del plano y el espacio
• Algunos lugares geométricos y la línea recta en $\mathbb{R}^2$.

2. Trigonometría

• Razones trigonométricas
• Funciones trigonométricas
• Resolución de triángulos
• Coordenadas polares, esféricas y cilíndricas
• Introducción a las curvas paramétricas

3. Secciones cónicas

• Definiciones y ecuaciones canónicas
• Excentricidad
• Funciones trigonométricas hiperbólicas y ecuaciones paramétricas de la cónicas.
• Esferas de Dandelin

4. Elementos de álgebra lineal y su aplicación a la geometría

• Definición de espacio vectorial y subespacio.
• Independencia lineal, conjuntos generadores, bases y dimensión.
• Transformaciones lineales
• Producto interior, producto cruz y triple producto escalar.
• Rotaciones y los grupos O(2) y SO(2).
• Secciones cónicas desde un punto de vista vectorial
• Ecuación general de segundo grado en dos variables

5. Rectas y planos

• Ecuaciones cartesianas y paramétricas.
• Ortogonalidad y ecuaciones vectoriales.
• Sistemas de ecuaciones lineales.
• Sistemas de desigualdades lineales.

Evaluación

• El curso se va a evaluar con tareas, con un valor de 60% a la calificación del curso, así como exámenes, con un valor de 50%, donde dichos porcentajes se obtendrán como promedio de todas las tareas y exámenes del curso. (¡No me equivoqué! estamos calificando sobre 11, aunque en actas sólo podemos poner calificación de 10 como máximo :) )
• Habrá un examen por cada tema del curso y dicho examen irá precedido por una tarea, salvo para el tema de cónicas, para el cual evaluaremos con una tarea-examen (que cuenta únicamente para el promedio de exámenes). Las tareas se entregarán de forma física en equipos de a lo más 4 personas y los exámenes obviamente son individuales (XD)
• El examen tendrá una dinámica muy particular para presentarlo, el día anterior a la fecha de este, daremos una colección de 3 ejercicios que tienen que entregar al otro día como derecho a examen; el examen presencial tendrá 2 preguntas para responder en una hora. La calificación del examen consta de los 5 ejercicios mencionados.
• Todo alumno tiene derecho a 2 reposiciones a elegir entre los exámenes de los temas 1, 2, 4 y 5. En dichas reposiciones la dinámica de examen cambiará, ya que este constará de 5 preguntas a resolver en el aula. En dichas reposiciones pueden repetir el examen que gusten el número de veces que quieran y se queda la calificación más alta de todos sus intentos.
• Respecto al promedio del curso, si este es de de la forma n.x, las calificaciones que aparecerán en las actas son:

• No hay renuncia de calificaciones aprobatorias y calificaciones menores a 6 aparecerán en el acta como NP
• Hay una única vuelta de examen final, la cual no recomiendo hacer, creo que el curso es lo suficientemente flexible como para que su trabajo a lo largo del semestre sea recompensado.

Bibliografía

Aunque no seguiremos ningún material al pie de la letra, recomiendo los siguientes libros:

1. Ramírez Galarza, A., Geometría Analítica: Una Introducción a la Geometría. México: Las
   Prensas de Ciencias, 2004.
2. Bracho, Javier, Introducción Analítica a Las Geometrías. Fondo de Cultura Económica, 2021.
3. Efimov, N. Geometría Superior. Moscú: MIR., 1984.
4. Wooton, Beckenbach and Fleming. Modern Analytic Geometry, Houghton Mifflin School, 1981.
5. C.H. Lehmann. Analytic Geometry. J. Wiley & sons, Incorporated, 1942.
6. Lawrence E Spence, Arnold J Insel, and Stephen H Friedberg. Elementary linear algebra. Prentice Hall, 2000.

Adicionalmente iré subiendo notas del curso, con las cuales tendrán apuntes del material visto en clase, aunque los invito fuertemente a consultar los libros de la bibliografía para complementar el material desde otras perspectivas. Además daremos más bibliografía conforme vaya avanzando el semestre.

Cualquier duda que tengan respecto a la evaluación y dinámica del curso la trataremos la primera sesión.

No nos queda más que decirles:

¡Bienvenida generación 2024!

:)