Matemáticas (plan 1983) 2024-1

Primer Semestre, Cálculo Diferencial e Integral I

1.- A continuación aparece la Presentación del curso de Cálculo I que impartiremos este semestre. A todos los compañeros interesados en participar en él –sean inscritos u oyentes–, les pido que llenen una encuesta inicial para hacernos una idea de la composición del grupo. Para ello, por favor ingresen al Classroom, con el siguiente enlace:

https://classroom.google.com/c/NjE2NTQyMzQ2MzIz?cjc=hmuzajk

2.- Todo listo, nos vemos el lunes 14 de agosto a las 11:00 am en punto. Ahí aclararemos sus dudas, discutiremos las ideas que quieran proponer, e implementaremos las cuestiones organizativas del curso.

Presentación del curso de Cálculo I

Contenido:

I.- Orientación.

II .- Temario.

III. Esquema general de funcionamiento.

IV. Evaluación.

V.- Bibliografía.

VI. Por último…

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I. Orientación del curso

1. Desde los primeros años que impartí la materia, me fui convenciendo de que las dificultades en la adaptación a los cursos de la facultad –en particular al cálculo, pero no solamente– comienzan con el lenguaje mismo que se utiliza en ellos, el uso sistemático de la lógica formal, el hábito de demostrar todo lo que se afirma –cuestión fundamental de toda actividad científica–. Resolver esto toma tiempo, debemos entenderlo, partir de ello. Pero es tiempo bien invertido, es algo que allana el camino posterior en todas sus materias a los estudiantes, en todos los semestres –de hecho, en toda su vida profesional–.

2. Hay dos temas que son esenciales para la comprensión del concepto de convergencia (límite), columna vertebral del cálculo: esos temas son el infinito y los números reales. A mi parecer, estos temas reciben una atención demasiado superficial en el programa oficial de la materia, y los estudiantes acaban “pagando aduana” después por no haberse detenido en ellos.

3. Y hay otro elemento a tomar en cuenta: el papel de los cursos de cálculo en la formación matemática de los estudiantes de física, matemáticas, actuaría y matemáticas aplicadas, es demasiado importante como para reducirlos a la enseñanza de ciertos procedimientos y técnicas de solución de determinados problemas (integración, diferenciación, series, límites). Debemos preocuparnos por desarrollar la capacidad de los alumnos para traducir geométricamente –o físicamente– resultados más o menos complicados; y de descubrir por ellos mismos nuevos resultados. Sacarle filo a su intuición, a la vez que entrenarlos en el encadenamiento de largas secuencias de razonamientos lógicos que les ayuden a demostrar lo que conjeturen que es verdadero. Está claro que esto es algo que no se logra en un par de semestres, que lo irán desarrollando a lo largo de toda su carrera. Pero indudablemente los cursos de cálculo juegan un papel fundamental en eso: no de balde deben cursarlos durante la mitad de duración de sus carreras y representan un número de créditos cada uno igual a casi el doble de la mayoría de las materias.

4. Llegar a clase y escribir un teorema, hacer la prueba y dar algunos ejemplos de cómo se aplica, puede ser bastante rápido. Pero llegar, formular una idea general sobre la cual reflexionar posibles resultados, recoger las propuestas, plantear contraejemplos que muestren las debilidades de las mismas y orienten los siguientes pasos a dar en la formulación de las hipótesis necesarias del resultado buscado, reproduciendo el ciclo hasta llegar a un resultado final sólido, robusto, pulido; y entonces sí, enunciarlo con precisión y probarlo formalmente –lo cual ya está prácticamente resuelto en la discusión previa–, es algo que toma mucho más tiempo. Pero es algo que puede resultar muy valioso –por lo menos en un serie de resultados– si buscamos que los estudiantes no simplemente “se enteren” de la matemática, sino que la redescubran y que sean capaces de hacer matemática, de crear matemática.

5. Todo lo anterior nos plantea que el curso de cálculo I está principalmente orientado a construir bien los cimientos, las columnas y las trabes; no solo en términos de los conceptos básicos –que sí–, sino del desarrollo mismo del pensamiento matemático, avanzando simultáneamente en el manejo de las ideas geométricas, lógicas, algebraicas y físicas; intuitivas y formales. Y el de Cálculo II a construir ya todo el edificio –más bien habría que decir, el primer piso del mismo, el que se refiere a las funciones reales de variable real.

No pretendo decir que todo esto está garantizado, que todo sale maravillosamente, ni mucho menos; sino simplemente que me guío con esa idea. No son pocas las veces que termino una clase con el sinsabor de que no me salió como hubiera querido, que no me gustó, que pude haberla dado mucho mejor. Esa es la realidad.

6. Pero en fin: podríamos decir que el primer curso tiene entonces una orientación fundamentalmente “teórico-formativa”. Y en el segundo se abordan ya los conceptos y procedimientos clave del cálculo: la diferenciación y la integración (la diferenciación puede alcanzarse a ver a un nivel básico en el primer curso). En general, pienso que los cursos de Cálculo I y II deben verse como un todo.

Hechas todas estas aclaraciones, paso ahora a plantear a grandes rasgos los temas del curso.

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II. Temario del curso

0. Algunas cuestiones sobre lógica, procesos infinitos y definiciones preliminares.

1. Conjuntos infinitos

(i) Aparentes contradicciones lógicas en la comparación entre conjuntos infinitos. Pasajes de la historia.

(ii) Los hoteles de Hilbert.

(iii) Primeras definiciones y propiedades.

(iv) Conjuntos numerables.

(v) Los racionales y los irracionales: un primer acercamiento.

(vi) Los reales: un primer acercamiento.

(vii) Conjuntos no numerables. Infinitos grandes y pequeños.

(ix) Tres preguntas importantes. La historia detrás de toda esta historia.

2. Los números reales

(A) ¿Qué pretenden resolver?

(B) Dos grandes formas de entenderlos, definirlos y trabajar con ellos:

(i) Las expansiones decimales y en otras bases.

(ii) El modelo axiomático.

(C) El problema de la completez: su enorme importancia, formas alternativas de resolverlo, y sus consecuencias.

(D) Lo cuántico en la física y el continuo en la matemática: algunos comentarios… de grandes físicos.

3. Las funciones de los reales a los reales

(A) Definición, operaciones, conceptos y propiedades básicas.

(B) Análisis geométrico: razonamientos cualitativos.

(C) La rapidez con la que una función tiende a cero o a infinito: su sentido geométrico.

(D) Estudio de grandes familias de funciones:

(i) Polinomios.

(ii) Funciones racionales.

(iii) Funciones trigonométricas.

(iv) Funciones exponenciales.

(v) Funciones logarítmicas.

(vi) Funciones peculiares.

4. El concepto de límite (la idea de convergencia) columna vertebral del cálculo. De lo heurístico a lo formal.

(A) Límite de sucesiones.

(i) La idea del concepto. Discusión sobre su formalización paso a paso. Discusión sobre su negación.

(ii) Propiedades básicas: su comprobación.

(iii) Ejemplos múltiples, utilización de los criterios de convergencia.

(iv) Límites infinitos: los resultados que dan sustento formal al análisis heurístico de la convergencia y la divergencia.

(v) Series convergentes y divergentes. Tres casos de particular importancia.

(B) Límite de funciones.

(i) La idea del concepto. La construcción paso a paso de dos definiciones alternativas (sucesiones y vecindades). Su equivalencia. Discusión sobre la negación de cada una de ellas.

(ii) Propiedades básicas: el límite de las operaciones básicas entre funciones.

(iii) El límite de la composición de funciones: análisis geométrico y formal.

(iv) La rapidez con la que una función tiende a cero o a infinito. Las indeterminaciones. El sentido de su solución. El análisis heurístico y su respaldo formal.

(v) Ejemplos múltiples.

5. La continuidad de las funciones.

(A) Continuidad en un punto.

(i) Su importancia, su relación con los números reales, su historia.

(ii) Dos definiciones alternativas a partir de su vínculo estrecho con el concepto de límite.

(iii) Ejemplos de diversas formas de discontinuidad, el razonamiento de la negación de la definición en cada caso.

(iv) Continuidades y discontinuidades de funciones peculiares: la función de Dirichlet, la función de Thomae, …

(v) Teoremas básicos de continuidad. El caso de la composición.

(B) Cinco teoremas fuertes de continuidad (en un conjunto).

(i) Discusión del papel de cada hipótesis de los resultados, consecuencia de la ausencia de alguna de ellas, y pruebas formales. Algunos comentarios de la historia de algunos de ellos.

(ii) Ejemplos y contraejemplos múltiples.

(iii) Posibilidades de generalizaciones.

6. Visión general de la derivada.

(i) La idea de razón de cambio, de crecimiento relativo, de variación instantánea, de pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función.

(ii) La definición formal.

(iii) Teoremas sobre las operaciones. Aprender a derivar prácticamente funciones suficientemente complicadas.

(iv) Teoremas fuertes: panorama general.

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III. El esquema general de funcionamiento del curso

1. Las clases serán todos los días, de lunes a sábado, de 11:00 a 13:00 horas (el horario de los sábados se puede modificar de común acuerdo entre todos los participantes, dado que son pocos los cursos que realmente se imparten ese día). Aunque creo que es valioso y necesario que la universidad ofrezca opciones para los estudiantes que no pueden asistir regularmente a ella (de hecho, hay este semestre 31 opciones para llevar esta materia), quiero subrayar que este curso está estructurado para los alumnos que pueden asistir regularmente a clase en el horario correspondiente –o si acaso, que en el lapso de un día puedan ponerse al corriente–. Todas las clases y los exámenes serán presenciales, las clases no serán videograbadas.

2. Se deberán formar equipos de trabajo (4 a 7 integrantes cada uno), para discutir las tareas que serán propuestas para cada tema. El curso presupone un trabajo regular tanto en equipo como individual.

Los sábados habrá, después de la clase, sesiones de ayudantía en que cada ayudante atenderá a un cierto número de equipos en reuniones de trabajo sobre las tareas. Es importante decir que una parte de los problemas de cada examen parcial saldrá de las tareas (aunque cambiando en algo los enunciados).

3. Habrá además entre semana diversas opciones de ayudantía-asesoría extraclase: discusión de dudas –o preparación de mini-cursos de regularización– sobre temas en los que se sientan débiles en su formación anterior; discusión organizada de los problemas más difíciles de las tareas. Por ejemplo, es común el comentario entre los estudiantes de los primeros semestres en el sentido de “le entiendo bien, pero no sé demostrar”; en algunos semestres se han organizado talleres precisamente con ese tema: aprender a demostrar. Otro ejemplo: en los últimos años se ha formado un grupo especial para atender regularmente a los compañeros a los que les cuesta más trabajo avanzar.

4. Usualmente le pido a los alumnos que concluyen conmigo el ciclo de los cuatro cursos de cálculo, que se incorporen como asesores al siguiente curso de cálculo I. Eso ha permitido durante generaciones y generaciones, que podamos organizar una labor de asesoría casi digamos de “marcaje personal”, atendiendo a cada equipo en particular, pues suelen incorporarse muchos exalumnos a esa labor. Desafortunadamente, el año anterior no impartí los cursos y en esta ocasión no cuento con ese equipo de asesores. Sin embargo, convocaré a una reunión a algunos de los compañeros que llevaron los cursos conmigo hace un año, para proponérselos. En función de cuántos asesores se anoten,veremos más opciones de ayuda para que puedan salir adelante.

Si hay más propuestas, bienvenidas.

5. Los equipos de trabajo deberán nombrar un representante. La idea es mantener al menos una reunión de trabajo después de cada examen parcial entre los representantes y nuestro equipo, para hacer un balance y recoger sus inquietudes, observaciones, sugerencias, etc. sobre el curso.

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IV. La evaluación

1. Exámenes:

(a) Habrá un examen-express semanal todos los lunes, con duración de 10 minutos estrictamente. Serán exámenes muy breves con preguntas de selección múltiple. Las preguntas tratarán sobre lo esencial de lo visto la semana anterior; digamos que el espíritu de esos exámenes es: quien haya asistido a clase y haya puesto atención, con una simple lectura de repaso de las notas de la semana, podrá resolver fácilmente dicho examen. A los 10 minutos se recogen los exámenes y comienza la clase. Las calificaciones se harán llegar a sus correos poco después.

(b) Exámenes parciales por cada tema. Esos exámenes serán siempre los sábados, en el horario que se defina para la clase.

(c) Dos exámenes orales: uno a medio semestre, otro cerca del final del semestre.

2. Dos vueltas de exámenes finales: en la primera vuelta, podrán escoger entre hacer el final o hacer reposiciones (de a lo más dos temas que no se hayan presentado, o se hayan reprobado, o en los que se desee subir calificación sin perjuicio a la ya obtenida). La segunda vuelta ya solo es para hacer final.

3. La calificación previa al examen final se ponderará de la siguiente manera: Los exámenes express: 20%. Los parciales: 50%. Los exámenes orales, la participación por equipos en la discusión de las tareas en las ayudantías, la participación en las asesorías, la participación en clase: 30% (en caso de no haber participaciones, este porcentaje se mediría solo con el oral).

4. Se puede exentar el final, siempre y cuando en todos los exámenes parciales por tema se tenga una calificación mayor o igual a 5 (pudiendo reponerse hasta dos parciales). En caso contrario deberá presentarse final. Ahí, todo el trabajo durante el semestre podrá contar para subir, pero no para bajar. Esa calificación define finalmente las cosas.

5. En caso de cualquier duda en la revisión de los exámenes escritos a juicio de quien lo califica (problemas “demasiado parecidos”, etc) se hará una evaluación oral final –completamente análoga a las demás– para definir la situación.

Nota importante: Si el día del examen parcial el alumno tiene algún otro compromiso y no lo presenta, el examen se repone hasta el final del semestre (a los más dos, como ya comentamos). Ténganlo presente quienes están considerando si se inscriben o no en el curso, pero no pueden los sábados.

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V. Bibliografía

Nunca seguí un texto en particular en ninguno de los cursos que impartí. Más bien, fui elaborando notas desde el principio de cada curso conforme me iba haciendo una idea de qué era necesario en el contexto particular de nuestros estudiantes de carne y hueso, y de cómo “me iban llevando” en la discusión los alumnos de cada grupo. Una generación tras otra iba elaborando una versión nueva de las notas de cada curso, llegando a acumular al paso de los años una cantidad enorme de hojas escritas.

(1) En el año de 2012 empecé a escribir un primer texto con la idea de llenar de contenido la etapa inicial de los cursos de cálculo. Un texto que abordara, con un nivel razonable de profundidad y de amplitud, las dudas que fueron surgiendo al paso de los años en una u otra generación sobre diversos problemas relacionados con los fundamentos del cálculo.

El libro, publicado por Fomento Editorial de la UNAM, salió a la venta en febrero de 2017.

Se comprenderá que si ese fue el objetivo del libro, este forma parte esencial del curso que imparto sobre la materia.

El libro lleva el nombre de Un acercamiento a los fundamentos del cálculo. El infinito y los números reales.

No se piense que la recomendación del libro tiene interés económico alguno de mi parte. No está de más que diga que yo cedí todos los derechos del mismo a la UNAM, de modo que no recibo ni un centavo por cada ejemplar que se distribuye. Si lo propongo es porque sinceramente creo que puede ayudarles en el curso (y a los alumnos de todos los cursos).

(2) Hay varios libros clásicos y otros de aparición más reciente que sirven muy bien para acompañar unas u otras partes del curso. Haré una lista de algunos de ellos, a reserva de que sobre la marcha les vaya sugiriendo otras lecturas en cada tema (las ediciones de los libros de la lista, son las de ejemplares que yo tengo físicamente, pero por supuesto que cualquier otra edición funciona bien):

(a) Sagan, Hans: Advanced Calculus. Houghton Mifflin Company, 1974.

(b) Apostol, Tom M.: Calculus, vol. 1. Wiley International Edition, 1966. (Existe la traducción al español)

(c) Spivak, Michael: Cálculo. Editorial Reverté, 1981.

(d) Courant & John: Introducción al cálculo y el análisis matemático. Limusa, 1979.

(e) Hairer & Wanner: Analysis by its History. Springer-Verlag, 1996.

(f) Little, Charles: Teo, Kee; van Brunt, Bruce: Real Analysis via Sequences and Series. Springer, 2010.

(g) Katz, Víctor J: A History of Mathematics. An Introduction. HarperCollins College Publishers, 1993.

(h) Boyer, Carl: The History of the Calculus and its Conceptual Development. Dover, 1959.

(i) Grabiner, Judith: The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus. Dover, 2005.

(j) Baron, Margaret E: The Origins of the Infinitesimal Calculus. Dover, 1987.

(k) Menger, Karl: Calculus, A Modern Approach. Dover, 2007.

(l) Kline, Morris: El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Alianza Editorial, 1992.

(m) Edwards, Charles Jr: The Historical Development of the Calculus. Springer-Verlag, 1979.

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VI. Y por último…

1. Una cuestión un poco incómoda de los últimos tiempos: todos los celulares deberán apagarse al entrar a clase (apagarse es más que bajarle el volumen… ¿se comprende, verdad?). Y por supuesto, durante los exámenes. Casi les pediría que solo entren a clase si se sienten con ganas de atender o mejor aún, participar activamente en ella (no hay pase de lista, ni nada por el estilo).

2. Si traen lagunas en su formación (problema que ha crecido preocupantemente los últimos años), no se angustien. Se puede resolver, pero deben ser conscientes de que requiere más trabajo de su parte (y la nuestra). Si están dispuestos a hacer el esfuerzo que eso inevitablemente presupone, creo que podemos ayudarles.

3. Si hay algún compañero que quiera plantear algo, cualquier cosa, que dificulte su participación en la dinámica que he tratado de esbozar del curso, le pido por favor que me lo haga saber desde el primer día, para buscar durante la primer semana de clases una solución que le ayude.

4. Y en general: siéntanse en confianza de plantear las cosas que quisieran incorporar o modificar de la dinámica del curso, y entre todos vamos viendo. Por nuestra parte, muy probablemente haya cosas que cambiar, si al avanzar percibimos que no funcionan bien o podemos mejorarlas. Bienvenidos pues y saludos cordiales.