Matemáticas (plan 1983) 2023-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría A

Universidad Nacional Autónoma de México

Facultad de Ciencias

Seminario de Geometría A semestre 2023-2, grupo 4334

Profesores: Jorge Alonso Santos Mellado jalonso@ciencias.unam.mx

y Diana Santoya Ugalde dianoia@ciencias.unam.mx

¿Te gusta la geometría?

¿Alguna vez te han llamado la atención las cónicas?

¿Has notado que siempre se ven las cónicas de la misma manera (por ejemplo una elipse como los puntos x tal que d(x,p)+d(x,q)=2a)?

¿Sabías que es posible construir las cónicas, al menos, de cuatro maneras distintas y que si acaso conoces solo una de ellas?

¿Sabías que una cónica no consiste solo de puntos sino de puntos y rectas (puntos y tangentes)?

¿Quieres tomar un curso que cambiará por completo la forma en que ves a las cónicas?

En este curso estudiaremos de la forma más exhaustiva posible las cónicas. Partimos de la idea de que las cónicas son uno de los temas más clásicos dentro de las matemáticas en general y dentro de la geometría en particular. Sin embargo siempre se abordan de manera analítica y siempre a partir de distancias.

En este curso construiremos las cónica, al menos de cuatro formas distintas y siempre con estricto apago a lo geométrico, es decir, no daremos por hecho nada, sino que todo será construido geométricamente. Veremos que para una cónica tan fundamentales son sus puntos como sus tangentes (sin puntos o sin tangentes las cónicas no podrían tener las propiedades que tienen). Hacemos hincapié en que gran parte de nuestro curso estará dedicado a construir todo lo que veremos y siempre con enfoque geométrico.

Quizá lo siguiente en este momento no te haga mucho sentido, pero en este curso veremos que para construir las cónicas no es necesario tener ninguna noción relacionada con la magnitud. Tan solo con nociones de incidencia (que es la noción más básica, más fundamental, dentro de la geometría) seremos capaces de construirlas. Otra forma de decir lo anterior es que construiremos las cónicas (desde cero) proyectivamente.

Con respecto a lo matemático-geométrico, construiremos las cónicas de las siguientes cuatro maneras.

• Descartes y Fermat: La cónica como el locus que satisface una ecuación de segundo grado (que es la forma en que tradicionalmente se abordan).
• Excentricidad: La cónica como el locus tal que d(x,p)/d(x,l)= e, donde e es la excentricidad.
• Esferas de Dandelin: La cónica como una sección plana de un cono circular (que es la forma en como la entendían los griegos).
• Enfoque proyectivo (Steiner y von Staudt): La cónica como el locus de las intersecciones de líneas homólogas de una proyectividad entre haces en el mismo plano (Steiner) y La cónica como el locus de puntos autoconjugados de una polaridad hiperbólica (von Staudt). Este es el enfoque proyectivo.

Con respecto a lo histórico-filosófico-cultural, en este curso veremos el papel que las cónicas han tenido a lo largo de la historia y las aplicaciones que se les han dado.

Ahora, pasemos a la dinámica del curso.

La parte matemática-geométrica se desarrollará por parte de los profesores y se harán cuatro parciales durante el semestre

La parte histórica-filosófica-cultural se desarrollará a lo largo del semestre, pero fundamentalmente consiste en desarrollar un proyecto escrito sobre el papel histórico-filosófico-cultural de las cónicas. Se trata de generar un documento sólido en cuanto a contenido y referencias bibliográficas (se irán detallando y perfilando las características del proyecto conforme se avance en el semestre).

• La forma de evaluar en este curso será 50% la parte matemática-geométrica y 50% la parte histórica-filosófica-cultural. Es decir la mitad de la calificación es el promedio de los parciales y la otra mitad es la calificación en el proyecto escrito.
• Se podrán reponer, a lo más, dos exámenes parciales. Se puede reponer un examen parcial con calificación aprobatoria siempre y cuando se tenga a lo más un parcial reprobado y también se haga reposición de él.
• Habrá una tarea por cada examen parcial, la cual se entregará con anticipación. Es indispensable que las tareas se realicen y entreguen por equipos de 2 o 3 integrantes. Las tareas se entregarán el día del respectivo examen.
• Todas las preguntas de los exámenes parciales saldrán de la tarea respectiva.
• Las tareas tendrán, a lo más, valor de un punto extra sobre la calificación final de la parte matemática-geométrica. Es decir, no son obligatorias, ayudan a la calificación.
• Se realizarán cuatro (o quizá cinco) exámenes parciales. Como el semestre tiene16 semanas efectivas de clases, habrá un examen, en promedio, cada cuatro semanas. En cada examen habrá un punto extra.
• Tu asistencia a clases es muy importante: A partir de tu desempeño y tu evolución durante el curso, podremos valorar mejor tu calificación definitiva.

Bibliografía recomendada:

- Akopyan, A. y Zaslavsky, A. (2007). Geometry of conics. Estados Unidos de América. American Mathematical Society.

- Bracho, Javier. (2009). Introducción analítica a las geometrías. México. Fondo de Cultura Económica.

- Corredor de Porras, Magaly y Londoño, Carlos. (2019). El arte y la historia de la construcción de la geometría proyectiva. Saber, ciencia y libertad. Volumen 14. pp.295-311.

- Coxeter, Harold. (1987). Projective Geometry. 2^a edición. Estados Unidos de América. Springer-Verlang.

- _____________. (1949). The real projective plane. 1^a edición. Estados Unidos de América. Mc Graw Hill book Company Inc.

- Coxeter, Harold y Greitzer, Samuel. (1967). Geometry Revisited. The Mathematical Association of America.

- Faulkner, Ewan. (2006). Projective Geometry. 2a edición. Estados Unidos de América. Dover Publications.

- Galicia, Fidencio. (2013). Cónicas con geometría moderna. UNAM. México [Tesis].

- Lehmer, Derrick. (1917). An Elementary Course in Synthetic Projective Geometry. Estados Unidos de América. Ginn and Company.

- O’ hara, C. y Ward, D. (1937). An Introduction to Projective Geometry. Gran Bretaña. Oxford University Press.

- Roca, Ricardo. (2016). Introducción a la geometría de las cónicas. UNAM. México [Tesis].

- Santoya, Diana. (2022). Las propiedades métricas de la geometría euclidiana vía las propiedades de incidencia de la geometría proyectiva. UNAM. México [Tesis].

- Veblen, Oswald y Young, John. (1910). Projective Geometry. Volumen I. Estados Unidos de América. Ginn and Company.

- Young, John. (1982). Projective Geometry. Chicago. The Open Court Publishing Company.