Matemáticas (plan 1983) 2023-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Análisis Matemático B

Introducción a las álgebras de Banach y álgebras-C*.

En este curso se estudiarán los conceptos y teoremas principales en álgebras de Banach y en álgebras-C* (también se escribe C*-algebras). La idea es estudiar en un contexto general a los espacios que se presentan en el análisis matemático clásico, como lo son espacios de funciones, espacios de sucesiones, espacios de matrices, espacios de operadores lineales, etc... pues la mayoria de ellos no solo tienen la estructura de espacio vectorial, también se les puede dar una operación producto y así ser considerados como un álgebra, esto es las álgebras son espacios vectoriales con un producto (o multiplicación de vectores). Será de nuestro interes estudiar la estructura topologica y algebraica de las algebras, cuya topología esta dada por una norma, estudiaremos los diferentes tipos de álgebras como lo son las álgebras normadas, álgebras de Banach y las C*-álgebras, en este sentido es recomendable que el estudiante tenga conocimientos básicos de topología y algebra, pues conceptos como continuidad, compacidad, convergencia, elemento invertible, ideal, homomorfismo etc... son usados en el desarrollo de los conceptos de esta teoría (con respecto a los temas algebraicos no es necesario ser un experto, las definiciones correspondientes a estos temas los veremos durante el curso).

Requisitos:

Análisis Matemático I, Topología I, Algebra Moderna II (muy muy básica) NO es necesario saber cosas de Análisis III.

Bienvenidos alumnos de OTRAS carreras.

FORMA DE TRABAJO Y EVALUACIÓN:

Las clases serán presenciales, sin embargo si por algun motivo NO puedes asistir a alguna o todas las clases, puedes seguir el curso viendo por tu cuenta los siguientes videos de la siguiente lista de reproducción de youtube:

https://youtube.com/playlist?list=PLj9ww_YXE9UsG8x2YZN0VOYqck-0VmFa

en cualquier momento puedo responderte dudas de si optas por estas opción, solamente tienes que entregar A TIEMPO las evaluaciones que se pidan a lo largo de curso. La forma de evaluar para todos será exposiciones de temas complementarios a los que veamos en el curso se espera que estas sean de 3 a 4 exposiciones y en cada exposición deberas resolver uno o dos ejercicios del tema correspondiente, la idea es fomentar dos cosas: uno, el desarrollo de temas por cuenta del alumno para exponerlos y dos que el alumno aprenda a desenlvolverse en una exposición frente a un grupo donde desrrolle un tema particular.

GENTE INTERESADA EN INSCRIBIRSE AL CURSO: mandarme correo a pavelrm@yahoo.com.mx con el asunto "seminario de analisis B" para darle el enlace al classroom.

Temario

1. Espacios vectoriales topológicos.

1.1 Definición y propiedades de espacios vectoriales topológicos.

1.2 Espacios localmente convexos.

1.3 Transformaciones lineales entre espacios localmente convexos.

1.4 Algebras localmente convexas.

2. Álgebras de Banach.

2.1 Definiciones propiedades y ejemplos.

2.2 El teorema de Gelfand-Mazur.

2.3 El espectro de un elemento y sus propiedades.

2.4 El radio espectral y la formula del radio espectral.

3. Álgebras de Banach conmutativas.

3.1 Funcionales lineales multiplicativos.

3.2 El espacio de ideales maximales.

3.3 Algebras semisimples.

3.4 Divisores topológicos de cero.

4. álgebras-C*.

4.1 Definiciones, propiedades y ejemplos.

4.2 La igualdad C*.

4.3 El teorema de Gelfand-Naimark.

4.3 Representaciones de C*-álgebras.

Bibliografía

Rickart, Charles Earl, General theory of Banach algebras, Van Nostrand, 1960

Rudin, Functional Analysis, McGraw Hill, New York, 1991.

W. Zelazko, Banach Algebras, Elsevier Publishing Company, 1973.