Matemáticas (plan 1983) 2023-2

Grupo 4325, 15 lugares. 9 alumnos.

 

Una presentación del curso

Sistemas Dinámicos Discretos I

Profesor Héctor Méndez Lango.

Ayudante Leonel Rito Rodríguez.

Breve introducción al tema.

Un espacio métrico compacto, digamos X, y una función continua de X en sí mismo, digamos f, producen un sistema dinámico discreto. ¿Cómo lo hacen? Por cada punto x de X consideramos la sucesión

o(x,f ) = {x, f(x), f^2(x), f^3(x),…},

donde f^k representa la composición de la función f consigo misma k veces.

La teoría de los sistemas dinámicos discretos nace al considerar la sucesión o(x,f) como los lugares por donde va viajando una partícula o un objeto. En el tiempo 0, el objeto esta en la posición x; en el tiempo 1, el objeto está en la posición f(x); en el tiempo 2, el objeto está en la posición f^2(x); y así sucesivamente.

La meta es estudiar el comportamiento de todas las posibles sucesiones o(x,f). Como X es, en general, un conjunto infinito, esta meta no se ve tan sencilla.

Algunos temas que estudiaremos.

Puntos periódicos. Y otros tipos de recurrencia.

Algunos aspectos del Teorema Sharkovskii para funciones definidas en el intervalo unitario cerrado, X=I, I=[0,1], contenido en la recta real. En particular el Teorema de Li y Yorke (donde se descubre la importancia de la existencia de puntos periódicos de periodo 3).

La transitividad topológica y la existencia de puntos cuya órbita forma un conjunto denso en X.

Una breve introducción a las rotaciones definidas en la circunferencia unitaria.

La idea de estabilidad de una órbita y el concepto de sensibilidad a las condiciones iniciales.

La definición de función caótica dada por Robert L. Devaney.

Ejemplos de sistemas caóticos. En particular, estudio de las propiedades que presentan la función Tienda y la función Logística.

Conjugación topológica. La posibilidad de que dos funciones distintas tengan, en esencia, las mismas propiedades dinámicas.

Primeras propiedades del omega conjunto límite de una órbita.

Introducción a la Dinámica Simbólica. Su relación con el Conjunto de Cantor.

Introducción a bifurcaciones para familias de funciones definidas en el intervalo unitario I.

Introducción a la entropía topológica.

Introducción a la dinámica de funciones inducidas a los hiperespacios.

Libros que nos gustan

- Block, L.S., y Coppel, W.A., “Dynamics in One Dimension”, Berlin: Springer Verlag, 1992.

- Devaney, R.L., “An Introduction to Chaotic Dynamical Systems” (Second Edition), New York: Addison Wesley, 1989.

- Devaney, R.L., “A First Course in Chaotic Dynamical Systems: Theory and Experiments”,

New York: Addison Wesley, 1992.

- Holmgren, R.A., “A First Course in Discrete Dynamical Systems”, New York: Springer-

Verlag, 1996

- King, J., y Méndez H., “Sistemas Dinámicos Discretos”, Las prensas de ciencias, 2014.

Sobre la forma de evaluar el curso

Habrá tres exámenes parciales y seis tareas. Las tareas son por equipo, a lo más 3 personas. Habrá una exposición final por parte de los estudiantes.

Los exámenes aportan el 50% de la calificación; las tareas aportan el 40%; y la exposición el 10%. Para aprobar el curso el promedio de los exámenes debe ser mayor o igual a seis.

El primer día de clases, lunes 30 de enero de 2023, en el salón O-126, resolvemos las dudas, recibimos sugerencias, y platicamos sobre todo lo aquí mencionado.

¡Chao!

Héctor Méndez

Departamento de Matemáticas, cubículo 217, Facultad de Ciencias, UNAM.

Martes 24 de enero de 2023.