Matemáticas (plan 1983) 2023-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Geometría Riemanniana II

Geometría Riemanniana II Grupo 4324

Profesor: Oscar Palmas

Ayudante: Por confirmar

Salón P-103. Lunes a viernes 9:00 - 10:00

Presentación (preliminar)

Esto es una continuación del curso de Geometría Riemanniana I del semestre 2023-I, impartido por Jesús Núñez, por lo que conviene comentar un poco lo que se vio y qué pretendemos ver ahora. Esencialmente se seguirá el mismo texto, Geometría Riemanniana de do Carmo.

En el primer curso se vieron los conceptos básicos de geometría y topología diferencial (variedades, espacio tangente, inmersiones, etcétera), así como los correspondientes a geometría riemanniana (métrica, conexión, geodésicas y curvatura). Entre los resultados principales, se vieron los teoremas de Hopf-Rinow, Hadamard y Bonnet-Myers (capítulo 7).

Para completar la revisión del libro de do Carmo, comenzaremos con un breve repaso de la curvatura, definiendo las distintas e importantes curvaturas seccional, de Ricci y escalar (Capítulo 4). Continuaremos con el estudio de los campos de Jacobi (Capítulo 5), los problemas fundamentales de las inmersiones isométricas (Capítulo 6), y los teoremas de Cartan (Capítulo 8), Rauch (Capítulo 10), del índice de Morse (Capítulo 11) y una versión del Teorema de la esfera (Capítulo 13). Si alcanza el tiempo, revisaremos el teorema de Preissman.

Forma de trabajo

Entre el ayudante y yo expondremos todo el material, aunque si alguien quiere exponer una parte, ¡perfecto!

Listas de ejercicios - Evaluaciones

Para cada tema se les dará una lista de ejercicios por entregar, aproximadamente una por mes. La evaluación de estas listas constituirá la calificación parcial por cada tema. En caso necesario, podrá presentarse un examen final.

La calificación mínima aprobatoria será 6.0.

Las calificaciones finales 6.5, 7.5, 8.5 y 9.5 “suben” a 7, 8, 9 y 10 respectivamente.

Bibliografía

La bibliografía básica es el libro Riemannian Geometry de do Carmo, publicado por Birkhäuser. Pero hay una buena cantidad de libros sobre el tema, varios de ellos excelentes (e incluso un poco más modernos, se podría decir).

Para cualquier duda, pueden enviarme un correo electrónico.

¡Nos veremos!

Oscar Palmas

Cubículo 236

Departamento de Matemáticas

oscar.palmas@ciencias.unam.mx