Matemáticas (plan 1983) 2023-2

Optativas de los Niveles I, II, III y IV, Conjuntos y Lógica

Este curso es optativo para estudiantes de matemáticas, sin embargo, cualquier estudiante de ciencias puede inscribirse. Históricamente la lógica y la matemática se han cooconstruido de tal manera que se han justificado la una a la otra, en particular en el siglo XX. Dentro de esta historia se encuentran disputas acerca de ¿qué es hacer matemáticas? y considero que discutir esta y otras implicaciones históricas de la lógica matemática son tan pertinentes como incluir y completar el temario de la parte técnica de la materia. El filósofo, físico y matemático F. William Lawvere ha sido mi inspiración y está en mi hoja guía que dicta el rumbo sobre enseñar matemáticas, me gustaría explicar algunas de sus propuestas al final del curso. Otra área que marca ruta en mi labor docente son los estudios feministas de la ciencia y tecnología. También me gustaría discutir como se ha construido la idea de que la máxima de la razón se expresa en términos lógicos y como este incuestionable peso lógico nos configura una realidad y un discurso, es decir, quiero hablar acerca de la supuesta neutralidad de la lógica. ¡Bienvenidos todos!

La evaluación será la tradicional de la facultad, tareas y/o exámenes. El primer día de clases discutiremos todo lo del curso el primer día de clases.

Introducción

1. Discusión sobre los fundamentos de las matemáticas

Lógica

1. Estructuras matemáticas: ¿Cómo obtener un lenguaje para hablar de una estructura arbitraria?
2. Lenguajes de primer orden. Paradojas del lenguaje. Un poco más de estructuras.
3. Proposiciones: ¿Qué son?, conectores, valuaciones, noción de verdad, tautología, contradicción y contingencia. Negación
4. Algunos teoremas importantes: Compacidad, correctud y completud (tal vez enunciar sin demostrar)
5. Otras lógicas para hacer matemáticas

Conjuntos

1. Paradojas conjuntistas
2. Axiomas: ¿Cómo se construyen los conjuntos que usamos en matemáticas?
3. Álgebra de conjuntos
4. Relaciones y particiones
5. Órdenes: parcial, total y bueno
6. Funciones: inyectiva, suprayectiva, biyectiva. Imagen e imagen inversa
7. Cardinalidad: comparación de tamaños con funciones
8. Algo acerca del teorema de Cantor
9. Axioma de elección

Bibliografía

• José Alfredo Amor, Teoría de conjuntos, https://tienda.fciencias.unam.mx/es/inicio/808-teoria-de-conjuntos-para-estudiantes-de-ciencias-9789703224548.html
• Herbert Enderton, Una introducción matemática a la lógica http://www.filosoficas.unam.mx/catalogo/?autores=enderton-herbert-b
• Fernando Hernández, Teoría de conjuntos http://computo.fismat.umich.mx/~fhernandez/Papers/contenido_3a.pdf
• Carlos Iborra, Lógica y teoría de conjuntos. https://www.uv.es/ivorra/Libros/Logica.pdf

Bibliografía adicional

• F.W. Lawvere, Matemáticas Conceptuales
• F.W. Lawvere, Sets for Mathematics