Matemáticas (plan 1983) 2023-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría A

PRIMERA REUNIÓN: Lunes 30 de Enero a las 8:00 a.m. En el cubículo 120 del Instituto de Matemáticas.

En esta reunión, acordaremos el horario y el salón del curso. Cualquier duda, me pueden escribir al correo: diosel@im.unam.mx

Teoría de Hodge para variedades Riemannianas

INTRODUCCIÓN: El propósito principal de este curso es dar una introducción a resultados básicos de la teoría de Hodge para variedades Riemannianas. Este tema es de gran interés dentro de las mismas matemáticas, como en la física, y de manera más reciente para la biología-matemática. La teoría de Hodge es un invariante que estudia los grupos de cohomología de una variedad (diferenciable/compleja, algebraica), por ejemplo, si empezamos con una variedad Riemanniana, entonces podemos representar a toda clase de cohomología vía un único representante armónico (que satisface cierta ecuación diferencial), es decir, una forma diferencial que se anula bajo el operador de Laplace. En este curso daremos también herramientas necesarias para entender esta teoría, así como establecer un camino para futuros estudios de la teoría de Hodge a medida que se vaya enriqueciendo la estructura de la varidad.

Temario:

Capítulo 1. Preeliminares básicos

1.1 Construcciones en álgebra lineal

1.2 Cálculo vectorial

1.3 Espacios topológicos

Capítulo 2. Variedades

2.1 Variedades diferenciales, ejemplos

2.2 Mapeos diferenciables. Espacio tangente

2.3 Cálculo en variedades

2.4 Variedades riemannianas

Capítulo 3. Formas diferenciales

3.1 Formas diferenciales y la derivada exterior

3.2 Integración en formas diferenciales

3.3 Teorema de Stokes

Capítulo 4. Cohomología de De Rham y teoría de Hodge

4.1 Cohomología de De Rham

4.2 El operador estrella de Hodge y el adjunto de la derivada exterior

4.3 El operador de Laplace y formas armónicas

4.4 El teorema de Hodge

4.5 Dualidad de Poincaré

Bibliografía:

1. J. Nagel; Introduction to Hodge Theory. Página personal del autor.

2. M. Spivak; Calculus on Manifolds. Benjamin, New-York (1965).

3. L. Tu; An Introduction to Manifolds. Universitext, Springer (2010).

4. F. Warner; Foundations of Differentiable Manifolds and Lie groups. Graduate Texts in Mathamatics, 94. Springer-Verlag (1983).

El curso pretende de alguna forma ser auto-contenido, en este sentido los prerrequisitos son haber llevado los cursos de Cálculo y Álgebra Lineal. Un curso básico de Geometría diferencial ayudaría mucho a entender más los conceptos. La forma de calificar será 100% exámenes, aunque las tareas también ayudaran en la calificación. Sobre el horario y el salón de clases, esto se puede acordar con los interesados en el curso, trataremos de elegir un horario que convenga a todos.