Matemáticas Aplicadas (plan 2017) 2023-2

Séptimo Semestre, Proyecto I

Licenciatura en Matemáticas Aplicadas

Proyecto de Investigación I

(Matemáticas y Medicina).

Prof. Jesús López Estrada

jelpze@ciencias.unam.mx

Ayud. Louis D. Breton Tenorio:

louis.breton@ciencias.unam.mx

Departamento de Matemáticas,

Facultad de Ciencias, UNAM

Ciudad Universitaria

Enero de 2023.

Objetivos:

En objetivo central de este curso de Proyecto de investigación I: Matemática y Medicina

es que al final cuenten con plan claro de proyecto de investigación que al finalizar el curso

Proyecto de Investigación II: Matemáticas y Medicina el reporte final sea prácticamente la

tesis.

Asignaturas antecedentes:

Análisis Numérico, Ecuaciones Diferenciales, Ecuaciones Diferenciales Parciales, Taller de

Modelación Matemática II.

Requerimientos:

Experiencia con un lenguaje de programación (Matlab, SciLab, Python y/o C).

Recursos didácticos:

Clases presenciales. Aunque circunstancialmente, podrı́an ser en lı́nea.

Evaluación:

Tareas 25%, prácticas de simulación numérica 25%, exposición de temas y/o avances 20%,

trabajo-proyecto de curso 20%. Y para completar el 10% restante y mejorar calificación entregar

al menos 5 reportes de asistencia al Seminario de la Licenciatura de Matemáticas Aplicadas de

frecuencia quincenal.

Proyectos:

Entre los proyectos concretos de investigación en Medicina están: el estudio epidemiológico

del Covid-19, estudio de la dinámica viral del SARS-Cov2 in host, monitoreo del desarrollo

de la fibrosis hepática libre de biopsias, exploración de las Matemáticas de la oncologı́a

(dinámica del crecimiento de un tumor, detección temprana de cáncer, personalización del

tratamiento del cáncer, etc.), la develación de una obstrucción en fluido viscoso de Stokes (o

develación temprana de una estenosis en coronarias).

Proyecto 1:

Estudio epidemilógico del Covid-19 en México I.

Fundamentos/Motivación.

Es de dominio público las deficiencias observadas en el estudio de la evolución de la pandemia

del Covid-19 en México aplicando variantes del modelo SIR de Kermack-McKendrich. Una

razón de ello, es considerar la tasa de infección constante en el transcurso de la pandemia,

cuando las medidas de control de la pandemia sobre las conductas de convivencia social

(semáforo epidemiollógico) decididas por las autoridades de salud fueron cambiado semana

a semena.

Meta.

El objetivo de este proyecto consiste en determinar la tasa de infección como una función

del tiempo usando tres modelos: logı́stico, de Gompertz y SIR que permitan replicar acep-

tablemente los datos oficiales reportado sobre los casos y defunciones. Y a su vez dar una

medida de la eficacia de las medidas sanitarias tomadas en el curso de la pandemia.

Requisitos.

Epidemiologı́a matemática Básica (Cap.2 en ([Bra])), Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

(EDOs) y estimación numérica de parámetros en EDOs.

Proyecto 2:

Estudio epidemilógico del Covid-19 en México II.

Fundamentos/Motivación.

Las mismas del proyecto antecedente.

Meta.

El objetivo de este proyecto consiste en determinar la tasa de infección como una función

del tiempo visto el problema como uno de control óptimo de trayectoria prescrita pensando

a la tasa de infección como el control a determinar que mejor replique los datos oficiales

reportado sobre los casos y defunciones.

Requisitos.

Epidemiologı́a matemática Básica (Cap.2 en [Bra])), Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

(EDOs), Elementos de Teorı́a de control óptimo en EDOs, solución numérica de EDOs,

método del gradiente en espacios de Hilbert.

Proyecto 3:

Estudio inmunológico del SARS-Cov2 in host.

Fundamentos/Motivación.

Una pregunta central por responder es indagar el comportamiento de la dinámica viral y la

respuesta inmune del SARS-Cov2 causante de la enfermedad Covid-19. Por ejemplo, dado

un individuo infectado ¿la enfermedad será leve, mediana o severa? ¿Cuál es el daño en los

pulmones causado por la infección del SARS-Cov2? ¿Cuál es la dinámica de la enfermedad

bajo tratamiento? etc. ([Mar], [Asa], [Hnz]).

Meta.

Desarrollar un modelo de dinámica viral in host para el SARS-Cov2 que con la adquisición

de datos sobre pacientes con seguimiento permita responder las preguntas antes planteadas

entre otras.

Requisitos.

Inmunologı́a matemática básica, EDOs y estimación de parámetros en EDOs.

Proyecto 4:

Monitoreo de daño hepatico.

Fundamentos/Motivación.

El hı́gado es el órgano más grande del organismo humano que tiene la propiedad especial

de auto regeneración, participando en más de 500 funciones que efectua todo el organismo

y jugando un importante papel en el procesamiento de los alimentos, azucar y grasas. Y

también un papel muy especial en el sistema inmune.

Un hı́gado dañado puede desarrollar una pesada cicatrización (cirrosis), dando lugar a la

disfunción hepática de graves consecuencias: ascitosis (crecimiento de fluidos en el vientre),

inchasón en piernas y tobillos, disfunción renal y problemas de disfunción cerebral.

La fibrosis es una acumulación de tejido fibroso duro por cicatrización y es consecuencia

del daño hepático (agreción y/o muerte de hepatocitos), causado por exceso de bebidas

embriagantes, hı́gado graso e infección por los virus de la hepatitis B y C. (Entre 10 y 25 %

de los pacientes con hepatitis C crónica desarrollan cirrosis).

El daño hepático estimula al sistema inmune con inflamación y liberando sustancias bio-

quı́micas (citocinas, factores de crecimiento y otras), algunas de ellas involucradas directamente

en la activación de las células estelares para la producción de colágeno, y con ello la fibrosina, causando el crecimiento de la matriz extracelular (tejido conectivo no funcional fibroso).

El tratamiento de un paciente con presencia de fibrosis hepática depende, esencialmente,

del grado del daño hepático. La biopsia hepática per cutanea es considerada como el mejor

procedimiento disponible para el diagnóstico y evaluación de la eficacia del tratamiento

[Ols]. Pero es riesgosa, dolorosa y requiere de la hospitalización del paciente [Mah].

Por otro lado, las muestras de tejido obtenidas por este procedimiento son muy chicas y

dudosa su representatividad del estado de todo el hı́gado.

Esto da lugar al planteamiento de un problema relevante y gran impacto en medicina,

la propuesta de un procedimiento alternativo y no invasivo a la biopsia per cutanea para el

monitoreo del desarrollo de la expansión de la fibrosis hepática ([Fus], [Frd], [FrS]).

Cabe mencionar que se cuenta en el mercado con el FibroScan (elastografı́a por ultrasonido),

que es un medio no-invasivo, al parecer eficiente para el caso de fibrosis causada por la hepatitis

B y C. Pero no para pacientes con espacios intercostales estrechos, obesos y con ascitosis ([Car]).

Meta.

Desarrollo de un modelo matemático de Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDPs) para el

estudio de la evolución de la fobrosis hepática que permita monitoriar la evolución del daño

hepático usando como herramienta una combinación de biomarcadores especı́ficos, y con ello,

evitando el uso de la biopsia per cutanea.

Requisitos.

Fisiologı́a básica del hı́gado e identificación de biomarcadores especı́ficos ante daño hepático,

modelos de EDPs de reacción-difusión y transporte y estimación de parámetros en EDPs.

Proyecto 5:

Sobre matemáticas de la oncología.

Fundamentos/Motivación.

El cáncer tiene una alta incidencia a nivel mundial, su tratamento es doloroso, molesto y

costoso. Es por ello importante prevenirlo, pronosticar su aparición, predecir su evolución,

personalzar su tratamiento. Preguntas fundamentales son ¿Por qué surge? ¿Cuáles son sus

causas? ([Roc], [Kua], [Wod]).

El cáncer de mama es el cáncer de mayor incidencia a nivel mundial. Y se tiene cierta

evidencia de que los tumores de mama malignos tienen una impedancia eléctrica más baja

que los tejidos normales circundantes. En teorı́a es posible separar los tumores malignos de

las lesiones benignas según las mediciones de impedancia. Es decir la impedancia eléctrica

puede ser utilizada como indicador para la detección del cáncer de mama ([Che]).

Meta.

Introducir al estudiante al estado del arte de las matemáticas de la oncologı́a, tratando de

ver su impacto en la clı́nica y su investigación básica.

En particular, revisar las técnicas de impedancia eléctrica existentes propuestas para la

detección del cáncer de mama, con énfasis en técnicas no invasivas como son las imágenes

por impedancia eléctrica.

Requisitos

EDPs, Solución numérica de EDPs y Optimización, y problemas inversos en EDPs.

Proyecto 6:

Develación temprana de estenosis en coronarias.

Fundamentos/Motivación.

De acuerdo con Mozaffarian et al. (2016), las enfermedades cardiovasculares (ECV) son la

principal causa de muerte alrededor del mundo con más de 17.3 millones de muetes por año.

En Europa corresponde a casi la mitad del total de muertes (47 %).

De las ECV’s, la principal es a causa de la presencia de estenosis en arterias coronarias.

Esto es, una obstrucción parcial al torrente sanguı́neo que fluye a través de los vasos corona-

rios. Obstrucción debida a la acumulación de colesterol, ácidos grasos, calcio y otros dentro

de la pared del vaso coronario con consecuencias fatales, como un infarto al miocardio, que

es difı́cil de diagnosticar antes de que ocurra, causando con frecuencia la muerte.

El problema de la develación temprana de estenosis en coronarias por medios no invasivos

es de gran relevancia en la prevención de infartos al miocardio salvando con ello vidas.

Este problema que es esencialmente un problema de detección de un objeto inmerso en

el flujo de un fluido, el cuál tiene diversas aplicaciones, que van desde el diseño de piezas

mecánicas en ingeniera hasta la develación de estenosis en arterias que obstruyen el torrente

del flujo sanguı́neo.

Meta

Dado un cuerpo rı́gido inaccesible D sumergido en el torrente de un fluido viscoso, de tal

manera que D juega el papel de un obstáculo alrededor del cual el fluido que fluye en un

dominio, se desea determinar D (es decir, su forma y ubicación) mediante la medición del

tensor de Cauchy en los limites del dominio del fluido ([Alv]).

Requisitos.

Problemas inversos en EDPs, Solución numérica de EDPs y Optimización.

Proyecto 7*:

Posicionamiento preciso utilizando un sólo punto de acceso wifi.

Fundamentos/Motivación.

Los últimos años han visto avances significativos en interiores posicionamiento utilizando

señales inalámbricas. Los sistemas de vanguardia han logrado una precisión de decenas de

centı́metros, incluso utilizando conjuntos de chips WiFi básicos . Sin embargo, las propuestas

existentes se dirigen a redes empresariales, donde múltiples puntos de acceso WiFi pueden

combinar su información y cooperar para localizar a un usuario. sin embargo, el la gran

mayorı́a de hogares y pequeñas empresas de hoy un único punto de acceso WiFi ([Vas]).

Meta.

El objetivo es desarrollar una tecnologı́a (software) que pueda localizar usuarios y objetos

utilizando un solo punto de acceso WiFi.

Requisitos.

Transformada inversa de Fourier no equiespaciada y Optimización.

REFERENCIAS:

[And] Anderson, A.R.A.. Maini, Ph.K., Mathematical Ecology, Bull Math Biol 80 (2018)

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[Bra] Brauer, F., van de Driessche, P., Wu,J., Mathematical epidemiology, Springer, 2008.

[Car] Carrión, Jo. A., Utilidad del Fibroscan para evaluar la fibrosis hepática, Gastroenterol.

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[Che] Cheney, M., Issacson, D., Newell, J.C., Electrical impedance tomography, SIAM Rev.

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[For] Formaggia, L., Quarteroni, A., Veneziani, A. (Eds.), Cardiovascular Mathematics: Mo-

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[Fri] Friedman, S. L., Mechanisms of Hepatic Fibrogenesis, Gastroenterology, vol. 134, no. 6

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[Frd] Friedman, A., Hao, W., Mathematical modeling of liver fibrosis, Math. Bioscie. & Eng.

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[FrS] Friedman, A., Siewe,N., Chronic hepatitis B virus and liver fibrosis: A mathematical

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[Fus] Fusi, L., Macroscopic models for fibroproliferative disorders: A review, Math. and Com-

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[Hnz] Hernández-Vargas, E.A. (Ed.), Feedback Control for Personalized Medicine, Elsevier-

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[Kua] Kuang,Y., Nagy, J.D., and Eikenberry, S.E., Introduction to Mathematical Oncology,

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[Mar] Marchuk, G.I., Mathematical models in Immunology, Optimization Software, Inc.,

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[Mah] Mahal, A. S., Knauer, C. M., and Gregory, P. B., Bleeding after liver biopsy, Western

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[Mai] Martcheva, M., An Introduction to Mathematical Epidemiology, Springer, 2015.

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[Qua] Quarteroni, A., Dede, L., Manzoni, A., Vergara, Ch., Mathematical Modelling of the

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[Roc] Rockne, R.C., Scott, J.G., Introduction to Mathematical Oncology, J. Clinical Cancer

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[Vas] Vasisht, D., Kumar, S., & Katabi, D., Decimeter-level localization with a single WiFi

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[Wod] Wodarz, D., Komarova, N.L., Dynamics of Cancer: Mathematical Foundations of

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