Encabezado Facultad de Ciencias
Presentación

Matemáticas (plan 1983) 2023-2

Optativas de los Niveles V y VI, Sistemas Dinámicos Discretos I

Grupo 4279, 23 lugares. 7 alumnos.
Profesor Ricardo Gómez Aiza lu mi vi 10 a 11 P104
Ayudante Héctor Daniel Alonso Orozco ma ju 10 a 11 P104

 

El objetivo del curso es brindar una introducción general a los sistemas dinámicos. El material fundamental que cubriremos estará motivado por ejemplos e iniciará con conceptos básicos con los que nos adentraremos en temas de dinámica topológica, teoría ergódica y dinámica hiperbólica, pero el principal enfoque será en dinámica simbólica. El siguiente es un temero extenso sobre el cual se escogeran los temas selectos.

1. Ejemplos y conceptos básicos

  • Sistemas dinámicos
  • Rotaciones del círculo
  • Endomorfismos expansivos del círculo
  • Espacios shift
  • Mapeos cuadráticos
  • Transformación de Gauss I
  • La herradura de Smale
  • El solenoide
  • Flujos y ecuaciones diferenciales
  • Suspensión y secciones
  • Caos y coeficientes de Lyapunov
  • lAtractores

2. Dinámica topológica

  • Conjuntos límite y recurrencias
  • Transitividad topológica
  • Mezcla topológica
  • Expansividad
  • Entropía tipológica y algunos ejemplos
  • Equicontinuidad, distalidad y proximidad
  • Aplicaciones de recurrencia topológica a Teoría de Ramsey

3. Dinámica simbólica

  • Subshifts y códigos
  • Subshifts de tipo finito (STF)
  • Teorema de Perron-Frobenius
  • Entropía topológica y funciones zeta de STF’s
  • σ-equivalencia débil y fuerte
  • Substituciones
  • Subshifts sóficos
  • Almacenamiento de datos

4. Teoría ergódica

  • Teoría de la medida
  • Recurrencia
  • Ergodicidad y mezcla
  • Ejemplos
  • Medidas invariantes de mapeos continuos
  • Ergodicidad única y Teorema de Weyl
  • Transformación de Gauss II
  • Espectro discreto
  • Mezcla débil
  • Aplicaciones de recurrencia métrica a teoría de números

5. Dinámica hiperbólica

  • Endomorfismos expansivos
  • Conjuntos hiperbólicos
  • ε-órbitas
  • Conos invariantes
  • Estabilidad y conjuntos hiperbólicos
  • Variedades estables e inestables
  • Lema de inclinación
  • Herradura de Smale y puntos homoclínicos transversales
  • Estructura de producto local y conjuntos hiperbólicos localmente maximales
  • Difeomorfismos de Anosov
  • Axioma A y estabilidad estructural
  • Particiones de Markov

Libros de texto:

M. Brin y G. Stuck. Introduction to dynamical systems. Cambridge University Press.

M. Denker, C. Grillenberger y K. Sigmund. Ergodic Theory on Compact Spaces. Springer.

D. Lind y B. Marcus. An introduction to symbolic dynamics and coding. Cambridge University Press.

Bibliografía adicional de consulta y avanzada:

Sistemas dinámicos:

K.T. Alligood, T.D. Sauer y J.A. Yorke. Chaos. An introduction to dynamical systems. Springer Verlag.

A. Katok y B. Hasselblatt. Introduction to the modern theory of dynamical systems. Cambridge University Press.

Teoría ergódica:

K. Petersern. Ergodic theory. Cambridge University Press.

P. Walters. Ergodic theory Springer Verlag.

M. Smorodinsky. Ergodic theory, entropy. Lecture Notes in Mathematics. Springer Verlag.

R. Mañé. Ergodic theory and differentiable dynamics. Springer Verlag.

M. Einsiedler and T. Ward. Ergodic theory with a view towerds Number Theory. Springer Verlag.

Dinámica simbólica:

P.B. Kitchens. Symbolic dynamics: One sided, two sided and countable state Markov shifts. Springer Universitext.

S. Williams (editor). Symbolic dynamics and its applications. American Ma-thematical Society.

EVALUACIÓN: Ponderación en base a proyectos, tareas, parciales, participación, asistencia.

 


Hecho en México, todos los derechos reservados 2011-2016. Esta página puede ser reproducida con fines no lucrativos, siempre y cuando no se mutile, se cite la fuente completa y su dirección electrónica. De otra forma requiere permiso previo por escrito de la Institución.
Sitio web administrado por la Coordinación de los Servicios de Cómputo de la Facultad de Ciencias. ¿Dudas?, ¿comentarios?. Escribenos. Aviso de privacidad.