Matemáticas (plan 1983) 2023-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario Matemáticas Aplicadas II

Modelos de Osciladores no Lineales y Neuronas

Profesor: Dr. Humberto Carrillo Calvet

Ayudante: M. en I.A. José Luis Jiménez Andrade

Requisito: Haber cursado Ecuaciones Diferenciales I

OBJETIVO DEL CURSO

Se hace un análisis comparativo de varios modelos de células nerviosas, en términos de ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos discretos.

Se revisarán la estructura (anatomía) de estas células, sus propiedades dinámicas básicas (fisiología), se formularán los modelos matemáticos considerando los fenómenos biofísicos subyacentes y se analizarán sus comportamientos utilizando métodos de la teoría cualitativa de los sistemas dinámicos no lineales.

Se revisarán los modelos biológicos y analogías electrónicas: modelos de Hodgkin-Huxley, FitzHugh-Nagumo, Voltage controlled oscillator neurons y modelos de integración y disparo (spiking neurons).

Como herramienta teórica, se expondrá la teoría de rotación de Poincaré-Denjoy para el análisis de sistemas dinámicos en la circunferencia y se aplicará al análisis de las propiedades de sincronización y respuesta caótica de estos modelos cuando son objeto de una estimulación periódica.

Panorámicamente se describirá la manera en que algunos de estos modelos son utilizados actualmente para construir Inteligencia Artificial con algoritmos de aprendizaje de máquina basados en redes neuronales artificiales.

Conferencistas Invitados

Se contempla invitar alumnos avanzados e investigadores a impartir conferencias sobre los temas de su especialidad.

Bibliografía - Libros

1. Hoppensteadt, F. (1997). “An introduction to the Mathematics of Neurons”, Cambridge Studies in Mathematical Biology (Book 6). Ed. Cambridge University Press, 2nd. Ed.
2. B. Hille. Ionic Channels of excitable membranes. Sinauer.
3. M. W. Hirsch and S. Smale. Differential equations, dynamical systems and linear algebra. Academic Press, 1974.
4. Y. A. Kuznetsov. Elements of applied bifurcation theory. Springer, 1998.
5. De Melo, W. & van Strien, S. (1993) “One-Dimensional Dynamics”. A Series of Modern Surveys in Mathematics, Ed. Springer-Verlag, 1st. Ed.
6. Z. Nitecki. Differentiable Dynamics, An Introduction to the orbit structure of diffeomorphisms. Ed. MIT Press, 1971.
7. Izhikevich, Eugene M. Dynamical systems in neuroscience. MIT press, 2007.
8. Wulfram Gerstner, Werner M. Kistler, Richard Naud and Liam Paninski. Neuronal Dynamics. Cambridge University Press. https://neuronaldynamics.epfl.ch/online/index.html
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Bibliografía - Artículos - Monografías

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3. Arnol’d, V.I.: Small denominators. I. Mapping the circle onto itself. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 25, 21–86 (1961)
4. Arnol’d, V.I. Cardiac arrhythmias and circle maps. Chaos 1,13 (1991).
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10. C. Barriga y F. Ongay, H Carrillo. El Modelo de FitzHugh-Nagumo para el Potencial Eléctrico de una Neurona, Aportaciones Matemáticas, Ed. Sociedad Matemática Mexicana, Serie de Comunicaciones 32 (2003) 31-49.
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19. Fernando A. Ongay Larios. Sistemas Dinámicos en la Circunferencia. Primera Parte. Reporte Técnico 95-I. Laboratorio de Dinámica No Lineal, Facultad de Ciencias, UNAM, 1995.
20. J. J. Vega, R. Reynoso and H. Carrillo. Effect of signal noise on the learning capability of an artificial neural network, Nuclear Instruments and Methods A (2009), doi:10.1016/j.nima.2009.04.021.
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