Matemáticas (plan 1983) 2023-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario Matemáticas Aplicadas I

Profesor

Clases teóricas: lu, ma, ju 9:00 AM - 10:00 AM

Ayudante: Martín Alberto Herrera Garza

Ayudantía: mi, vi 9:00 AM - 10:00 AM

Objetivo. Introducir al estudiante a la teoría y las aplicaciones de los métodos variacionales en ecuaciones diferenciales. Veremos que estos métodos son robustos y se adaptan muy bien a diversos modelos, que incluyen aquellos que usan derivadas fraccionarias para describir interacciones de largo alcance: espacial y/o temporal (memoria). El marco teórico del curso se centrará en la teoría de espacios de Hilbert, cuyo origen se encuentra en el análisis de Fourier de las ecuaciones de onda y del calor. Es importante mencionar que este marco teórico es la base para implementar el método de elementos finitos, que permite resolver numéricamente muchas de las ecuaciones diferenciales que surgen en las aplicaciones.

Requisitos. Cálculo I-IV, Ecuaciones Diferenciales I; recomendable: Análisis Matemático I.

Temario

1. Análisis de Fourier

• Origen del análisis de Fourier
• Series de Fourier
• Convergencia puntual y uniforme de series de Fourier
• Convergencia en L2
• Transformada de Fourier: teoría L2
• Espacios de Hilbert

2. Ecuaciones diferenciales clásicas

• Método de separación de variables
• Ecuación de onda
• Ecuación del calor
• Ecuaciones de Laplace y Poisson
• Ecuación de Schrödinger

3. Métodos variacionales

• El principio de mínima acción y la ecuación de onda
• Formulación variacional y ecuación de Euler-Lagrange
• Espacios de Sobolev
• Teorema de Lax-Milgram
• Formulación variacional de ecuaciones diferenciales clásicas

4. Introducción a las ecuaciones diferenciales fraccionarias

• Derivadas e integrales fraccionarias de Riemann-Liouville y Caputo
• Interacción bidireccional de largo alcance: núcleo de Riesz y fracciones del laplaciano
• Espacios de Sobolev fraccionarios
• Formulación variacional de ecuaciones diferenciales fraccionarias

Bibliografía básica

• Brezis, H., Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Universitext, Springer, 2011.
• Ize, J., Cálculo de Variaciones, Serie FENOMEC Vol. 3, México: UNAM.
• Miller, K., Ross, B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, Wiley-Interscience; 1st edition, 1993.
• Stein, E., Shakarchi, R., Fourier Analysis: an Introduction, Princeton Lectures in Analysis, Vol I, Princeton University Press, 2003.
• Strauss, W., Partial Differential Equations, New York: John Wiley and Sons, 1992.

Bibliografía complementaria

• Evans, L., Partial Differential Equations, Volumen 19 de Graduate studies in mathematics, American Mathematical Soc., 2010.
• Folland, G.B., Fourier Analysis and its Applications, Pacific Grove, California: Wadsworth & Brooks, 1992.
• Podlubny, I., Fractional Differential Equations: An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, to Methods of Their Solution and Some of Their Applications, Volumen 198 de Mathematics in Science and Engineering, Academic Press, 1999.
• Samko, S.G., Kilbas, A.A., Marichev, O.I., Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications, Gordon and Breach Science Publishers, Switzerland, 1993.