Matemáticas (plan 1983) 2023-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría B

Link para la presentación del curso: https://cuaieed-unam.zoom.us/j/83432836327

Importante

• Presentación del curso:
  • Lunes 30 y Martes 31 de Enero de 2023, a las 8:00 hrs.
  • Modalidad de la presentación: Mixta, es decir, presencial en el salón P 202 y se transmitirá en vivo por Zoom (link https://cuaieed-unam.zoom.us/j/83432836327).
• Inicio del curso: 1 de Febrero de 2023.
• Se planea iniciar el taller de programación con clases diarias en las primeras semanas del semestre, sin ayudantías. Las ayundatías comenzarán posteriormente cuando ya se haya iniciado la revisión de la teoría.
• Si los alumnxs lo requieren, se podrá solicitar un cambio de horario, pero dependerá de la disponibilidad de salones en el horario propuesto.
• Este curso es en modalidad presencial, pero si por cualquier motivo algún alumnx requiere el curso en línea, se puede convertir a modalidad mixta: clases presenciales con transmisión en vivo desde la Facultad de Ciencias.

Descripción breve

En el seminario se pretende seguir principalmente la exposición del libro Indra’s Pearls, The vision of Felix Klein, de D. Mumford, C. Series y D. Wright (véase [Indra’s Pearls]). El propósito de este libro –y por lo tanto del seminario– es una introducción al estudio de las geometrías mediante los invariantes bajo grupos de transformaciones, en particular, de los grupos kleinianos. Dicho estudio se efectúa mediante una combinación entre la revisión de los tópicos principales de la teoría de estos grupos y la realización de “exploraciones” computacionales para visualizar los diversos conceptos, construcciones y ejemplos. Como complemento importante para la fundamentación formal de los conceptos y demostraciones, se utilizará el libro Una introducción a la geometría hiperbólica bidimensional del Dr. A. Lascurain (véase [3]). Finalmente, para la realización de los experimentos computacionales se utilizará el lenguaje de programación Julia (véase [Julia]), por lo que se impartirá un taller de programación de este lenguaje dentro del seminario.

Descripción

Un grupo kleiniano es un subgrupo discreto de PSL(2, ℂ). Estos son grupos de simetrías en el plano complejo, en el disco unitario o en la esfera de Riemann, de modo que con ellos se manifiestan las tres geometrías bidimensionales: euclidiana, esférica e hiperbólica. Para estos grupos, existe una relación directa con ciertos conjuntos fractales autosimilares y teselaciones regulares. Otro aspecto relacionado con geometría usando estos grupos, es que a partir de ellos se pueden crear superficies de Riemann y 3-variedades. Además, se pueden estudiar aspectos de dinámica discreta mediante la acción del grupo sobre la esfera de Riemann. En un contexto más amplio, también se estudian los espacios moduli de superficies de Riemann y 3-variedades mediante deformaciones de grupos Kleinianos.

En el seminario se pretende seguir principalmente la exposición del libro Indra’s Pearls, The vision of Felix Klein, de David Mumford, Caroline Series y David Wright (véase [Indra’s Pearls]). El propósito de este libro –y por lo tanto del seminario– es una introducción al estudio de los grupos Kleinianos, mediante una combinación entre la revisión de los tópicos principales de la teoría de estos grupos y la realización de “exploraciones” computacionales para visualizar los diversos conceptos, construcciones y ejemplos. Además, el hilo conductor en el texto es la visión de Félix Klein, que consiste en considerar a las geometrías como el estudio de los invariantes bajo un grupo de transformaciones de un espacio, en particular, con grupos kleinianos en la esfera de Riemann.

Dado que el libro [Indra’s Pearls] no es muy formal en su exposición, se complementará el curso con el contenido del excelente libro del Dr. Antonio Lascurain sobre geometría hiperbólica bidimensional (véase [3]) y se tendrán como principales libros de consulta los libros sobre grupos Kleinianos de Beardon y Maskit (véanse [1, 4]).

Las exploraciones computacionales en el libro [Indra’s Pearls] se presentan mediante algoritmos en pseudocódigo, es decir, no están escritos en ningún lenguaje de programación particular. Para el seminario se utilizará el lenguaje Julia (véase [Julia]), que está diseñado especialmente para cómputo científico y combina simplicidad con eficiencia. Dentro del seminario se realizará un taller para la introducción completa al lenguaje de programación Julia, por lo que no se solicitarán conocimientos de programación al alumno. El objetivo no será que el alumno se convierta en experto programación, sino sólo que aprenda lo suficiente para realizar las exploraciones computacionales para comprender la teoría de grupos kleinianos.

Temario

Durante el semestre, se verán en paralelo los temas de Teoría (Geometría y Grupos Kleinianos) y los de Programación (en Julia) para realizar las exploraciones computacionales.

1. Transformaciones y Simetrías Euclidianas / Programación básica [Feb-Mar]

• Programación
  1. Introducción a la programación. Introducción a Julia y Jupyter.
  2. Números, variables, constantes, operadores y expresiones. Tipos básicos.
  3. Errores sintácticos, de ejecución y semánticos.
  4. Gráficos vectoriales con Luxor.
  5. Funciones y sus argumentos.
  6. Instrucciones de control condicional. Operador condicional.
  7. Iteración condicional.
  8. Tipos colección: rangos y arreglos.
  9. Instrucciones de control de repetición. Comprehensiones.
  10. Funciones con argumentos opcionales y con argumentos palabra clave. Reúso de funciones y código.
• Teoría
  1. El programa de Erlangen de Klein.
  2. Transformaciones rígidas en el plano euclidiano. Simetría.
  3. Grupos de transformaciones euclidianas. Frisos y mosaicos.
  4. Conjugación, órbitas y regiones fundamentales.

2. Transformaciones en la Esfera de Riemann / Programación Intermedia [Mar-Abr]

• Programación
  1. Tipos compuestos. Mutables e inmutables.
  2. Funciones con anotaciones de tipos. Métodos y despacho múltiple.
  3. Constructores. Sobrecarga de operadores. Objetos función.
• Teoría
  1. El plano complejo. La geometría de los números complejos.
  2. La proyección estereográfica. La esfera de Riemann.
  3. Transformaciones de Möbius: loxodrómicas, hiperbólicas, parabólicas y elípticas. Red de Steiner.
  4. Inversiones y reflexiones.

3. Grupos de Schottky y Grupos Kleinianos / Programación avanzada [Abr-May]

• Programación
  1. Tipos abstractos y subtipos.
  2. Funciones recursivas.
  3. Algoritmos de de búsqueda por ancho y profundidad para recorrido de árboles.
• Teoría
  1. Grupos de Schottky. Gráfica de Cayley. Grupos libres.
  2. Palabras finitas e infinitas. Conjunto de Cantor.
  3. Región fundamental y superficie cociente de grupos de Schottky.
  4. Grupos discretos, discontinuos y kleinianos. Conjuntos límite y ordinario.

4. Grupos Fuchsianos, Casi-Fuchsianos, de Apolonio y Modular [May-Jun]

• Programación
  1. Algoritmo del dibujo de conjuntos límite de grupos fuchsianos y casi-fuchsianos.
• Teoría
  1. Grupos de Schottky "que se besan". Grupos casi-fuchsianos.
  2. El conmutador del grupo. Caracterización de grupos por medio de la traza del conmutador.
  3. Grupos Fuchsianos. Superficies pinchadas.
  4. Carpetas de Apolonio. El grupo modular.
  5. Geometría hiperbólica. El teorema de uniformización de superficies.

5. Opcional: Grupos Especiales y Espacios de Grupos / Programación intermedia y avanzada [si hay tiempo]

• Programación
  1. Tipos colección: diccionarios, tuplas y conjuntos.
  2. Vectores y matrices. Álgebra lineal.
  3. Manejo de excepciones.
  4. Programación genérica. Funciones y tipos parametrizados por tipos.
  5. Macros.
• Teoría
  1. Grupos parametrizados con conmutador parabólico.
  2. Grupos de Riley y de Maskit.
  3. Grupos degenerados. Grupos con cúspides.
  4. Espacios de grupos. Rebanada de Maskit.

Evaluación

• Tareas 70%. Se asignarán al menos 4 tareas con problemas teóricos y ejercicios de programación.
• Trabajo final 30%. Desarrollo de un tema teórico y un programa relacionado. Temas propuestos: Tasas de encogimiento en grupos de Schottky, dimensión fractal de conjuntos límite, grupos de Maskit, geometría esférica y sus teselaciones, teselaciones alla Escher, polígono de Ford, grupo de Jorgensen, rebanada de Maskit, formas automórficas, extensiones de Poincaré, etc.

Requisitos

Los cursos antecedentes al seminario:

• Necesarios: Geometría Analítica I y II, Álgebra Lineal I.
• Recomendables (haberlos cursado o estar cursándolos): Álgebra Moderna I, Variable Compleja I.
• Opcionales: Introducción a la Geometría Avanzada, Computación I, Programación I.

Bibliografía

Bibliografía principal

Bibliografía complementaria

Obras del artista M.C. Escher relacionadas con los temas de este seminario (www.wikiart.org/en/m-c-escher)