Matemáticas (plan 1983) 2023-2
Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Análisis Matemático A
Grupo 4257, 20 lugares. 8 alumnos.
Teoría de distribuciones, análisis armónico y ecuaciones diferenciales parciales
El curso está orientado a estudiantes interesados en análisis funcional, análisis armónico, física-matemática y ecuaciones diferenciales parciales.
Requisitos:
Necesarios: Cálculo diferencial e integral I-IV, álgebra lineal I, Análisis I y Análisis II (o teoría de la medida) y ecuaciones diferenciales ordinarias I.
Temario:
I. Herramientas básicas de Análisis.
-
Teorema de diferenciación de Lebesgue y algunos resultados en espacios L^{p}.
-
Funciones de prueba (convolución y regularizadores, particiones de la unidad y funciones de corte).
-
Teorema B.L.T.
II. Teoría de distribuciones.
-
Definición y ejemplos.
-
Cálculo con distribuciones (multiplicación por una función suave, derivada y cambios de variable).
-
Convergencia con distribuciones.
-
Distribuciones con soporte compacto.
-
Convolución con distribuciones.
-
Producto tensorial con distribuciones. (*)
-
Transformada de Fourier (Espacio de Schwartz, distribuciones temperadas, transformada de Fourier sobre el espacio de Schwartz y transformada de Fourier sobre el espacio de distribuciones temperadas).
-
Aplicaciones a ecuaciones diferenciales parciales (soluciones fundamentales y teorema de Malgrange-Ehrenpreis).
III. Espacios de Sobolev.
-
Derivadas débiles y definición de espacios de Sobolev.
-
Teorema de cambio de variables en espacios de Sobolev.
-
Teoremas de aproximación en espacios de Sobolev (aproximación local, aproximación global, aproximación global hasta la frontera, etc).
-
Teorema de traza y sus consecuencias.
-
Caracterización de espacios H^{k}(R^{n}) con transformada de Fourier.
-
Teoremas de encajes.
-
Teorema de compacidad de Rellich-Kondrachov.
V. Ecuaciones Elípticas de segundo orden.
-
Formulación débil de problemas de valores en la frontera.
-
Desigualdades de Poincaré.
-
Existencia (Teoremas de Stampacchia y Teorema de Lax-Milgram).
-
Ejemplos (problemas de Dirichlet, Neumann, etc).
-
Aplicaciones a elastostática lineal.
-
Regularidad de soluciones.
-
Método de Galerkin (teorema de punto fijo de Brouwer y teorema de Minty-Browder en espacios de Hilbert).(*)
Notas: Los temas marcados con (*) se impartirán si el tiempo lo permite.
Bibliografía:
-
Adams, Fournier. Sobolev Spaces.
-
Bressan. Lecture Notes on Functional Analysis.
-
Brezis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations.
-
Chipot. Elliptic Equations: An Introductory Course.
-
Ciarlet. Linear and Nonlinear Fuctional Analysis with Applications.
-
Dautray, Lions. Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology.
-
Duistermaat, Kolk. Distributions.
-
Eskin. Lectures on Linear Partial Differential Equations.
-
Evans. Partial Differential Equations.
-
Folland. Real Analysis.
-
Hörmander. The Analysis of Linear Partial Differential Operators I.
-
Gel'fand, Shilov. Generalized Functions Vols I-II.
-
Kesavan. Functional Analysis.
-
Kesavan. Topics in Functional Analysis and Applications.
-
Kreyszig. Introductory Functional Analysis with Applications.
-
Lax. Functional Analysis.
-
Mitrea. Distributions, Partial Differential Equations, and Harmonic Analysis.
-
Reed,Simon. Methods of Modern Mathematical Physics Vol I.
-
Salsa. Partial Differential Equations in Action.
-
Sobolev. Some Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics.
-
Schwartz. Mathematics for the physical sciences.
-
Wong. Partial Differential Equations: Topics in Fourier Analysis.