Matemáticas (plan 1983) 2023-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Álgebra A

Introducción a la Teoría de Categorías.

Pre-requisitos: Los alumnos interesados en llevar este curso deben tener conocimientos básicos de teoría de conjuntos y álgebra lineal 1, como mínimo. Es deseable haber cursado álgebra moderna 1, pero no necesario.

Temario:

1. Introducción. La categoría de conjuntos.

• Conjuntos, funciones y diagramas conmutativos.
• Productos y coproductos.
• Límites y colímites finitos en conjuntos.

2. Definiciones básicas.

• Categorías y funtores.
• Categorías pequeñas y localmente pequeñas.
• Monoides, ordenes, espacios, grupoides, etc.
• Transformaciones naturales.

3. Funtores representables y lema de yoneda.

• Funtores representables y ejemplos.
• Lema de Yoneda y sus consecuencias.

4. Funtores adjuntos.

• Funtores adjuntos, unidad, counidad y ejemplos.
• Flechas universales

5. Límites y colímites.

• Definición de límite y colímite. Ejemplos
• Límites en términos de representables y adjuntos.
• Límites y colímites de pregavillas.
• Teorema del Funtor Adjunto.

6. Introducción a topos de Grothendieck (si el avance del curso lo permite).

• Gavillas en espacios topológicos y locales.
• Topos de Grothendieck.

Referencias:

[1] T. Leinster, Basic Category Theory, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2014.
[2] D. Spivak, Category Theory for the Sciences, The MIT Press, Massachusetts, 2014.
[3] E. Riehl. Category Theory in context. Dover, New York, 2017.