Matemáticas (plan 1983) 2023-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Geometría Riemanniana I

PRESENTACIÓN DEL CURSO DE GEOMETRÍA RIEMANNIANA I

En este curso estudiaremos variedades Riemannianas y su geometría y cubriremos los siguientes puntos del temario oficial. A saber,

1. Variedades Riemannianas.

1.1 Variedades diferenciables. Definiciones básicas, ejemplos y orientabilidad.

1.2 Transformaciones entre variedades. Inmersiones, encajes y submersiones.

1.3 El fibrado tangente.

1.4 Campos vectoriales. Corchete de Lie.

1.5 Métricas Riemannianas.

1.6 Conexiones afines. Existencia y unicidad de una conexión de Levi-

Civita.

2. Geodésicas y curvatura

2.1 Definición. Ecuaciones diferenciales de las geodésicas. Flujo

geodésico,

2.2 Aplicación exponencial.

2.3 Propiedad minimizante de las geodésicas.

2.4 Vecindades normales.

2.5 Tensor de curvatura. Curvatura seccional, de Ricci y escalar.

3. Subvariedades Riemannianas.

3.1 Conexión inducida. Segunda forma fundamental.

(https://www.fciencias.unam.mx/estudiar-en-ciencias/estudios/licenciaturas/asignaturas/217/252).

Como requisitos se tienen los cuatro cursos de cálculo y los de álgebra lineal. No es requisito el curso de Geometría Diferencial I pero es conveniente haberlo cursado.

Se evaluará con cuatro tareas que cubrirán todos los temas. La participación en clase será considerada para la evaluación final. Es muy importante que los estudiantes asistan a las ayudantías también pues han sido diseñadas para la discusión de las tareas complementando de forma importante el curso.

El curso se desarrollará de forma presencial. Usaremos un grupo de Classroom, cuya información publicaremos próximamente, al que tendrán que entrar con su correo @ciencias.unam.mx.

El libro curso se basará en la siguiente bibliografía:

Referencias:

- M. P. Do Carmo, “Riemannian Geometry”, Birkhauser, 1992

- J. M. Lee “Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature,” Springer, 1991

- J. M. Lee “Introduction to Smooth Manifolds,” Springer, 2013