Matemáticas (plan 1983) 2023-2

Optativas de los Niveles V y VI, Geometría Diferencial I

¡Hola! El curso comprende el estudio de las superficies suaves en R^3, y de las curvas parametrizadas en R^2 y R^3. Más específicamente, estudiaremos sus propiedades diferenciables, así como la invariancia de estas propiedades bajo el respectivo grupo de isometrías. Para llevar a cabo estos análisis recurriremos a la herramienta desarrollada en sus cuatro cursos de cálculo diferencial e integral.

Dinámica del curso. Lunes, miércoles y viernes serán para estudiar la teoría del curso; y los martes y jueves, para realizar ejercicios que ayuden a reafirmar la teoría.

Evaluación. Cada dos o tres semanas se dejará una tarea-examen. La calificación final será el promedio de las tareas-examen. No habrá reposiciones. Podrán presentar (una única vez) el examen final quienes hayan entregado más del 80% de las tareas-examen. La calificación obtenida en el examen final será la calificación definitiva del curso.

Requisitos. Haber cursado los cuatro cálculos.

Programa.

I. Curvas diferenciables en R^2 y R^3

• Curvatura y torsión
• Teorema de la teoría local de curvas

II. Superficies regulares en R^3

• Superficies como gráfica de una función diferenciable.
• Superficies como imagen inversa de un valor regular.
• Funciones diferenciables sobre una superficie regular.
• Aplicaciones diferenciables entre superficies.
• Teorema de la función inversa.
• Plano tangente a una superficie en un punto.
• Primera forma fundamental de una superficie.
• Orientación.

III. Aplicación de Gauss

• Definición y expresión en coordenadas locales.
• Segunda forma fundamental de una superficie.
• Direcciones principales y direcciones asintóticas.
• Curvatura normal.
• Curvatura Gaussiana; curvatura media.

IV. Geometría intrínseca

• Isometrías.
• Teorema Egregio.
• Fórmulas de Mainardi-Codazzi.
• Teorema fundamental de la teoría local de superficies.
• Derivada covariante.
• Transporte paralelo; curvatura geodésica.
• Geodésicas.
• Invariancia de las geodésicas bajo isometrías.

Bibliografía:

• Do Carmo M. P., Differential Geometry of Curves and Surfaces in R^3, New Jersey: Prentice Hall, 1976.
• Struik D. J., Lectures on Classical Differential Geometry: Second Edition, Dover Publications, 1988.
• Hilbert D., Cohn Vossen S., Geometry and the Imagination, AMS Chelsea Publishing, 1999.
• Spivak. M. A., A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Tomo II, Texas: Publish or Perish, 1999.
• O’Neill B., Elementary Differential Geometry, San Diego: Academic Press, 1997.
• Pogorelov A.V., Geometría Diferencial, Moscú: MIR, 1977.