Matemáticas (plan 1983) 2023-2

Optativas de los Niveles V y VI, Geometría Diferencial I

El curso de Geometría diferencial I versa sobre todo de la teoría local de curvas y superficies suaves. Se trata de un curso introductorio al estudio de las propiedades geométricas de curvas y superficies diferenciables, siguiendo la filosofía del programa de Erlangen, es decir el estudio de los invariantes bajo cierto grupo de transformaciones, en este curso estudiaremos los invariantes bajo difehomorfismos. El área de la geometría Difrerencial puede tener aplicaciobnes interesantes a la física y la biología.

Vídeo presentación: https://youtu.be/a0lEfIFtjZI

Temario

1. Curvas diferenciables en el plano y el espacio.

   1. Curvas parametrizadas

   2. Parámetro Longitud de arco

   3. Torsión y curvatura, Fórmulas de Frenet-Serret.

   4. La envolvente

   5. Evolutas.

   6. Curvas de Frenet en Rn y en el espacio de Minkowski

2. Teoría local de superficies diferenciables .

   1. Superficies regulares en el espacio euclidiano

   2. Coordenadas locales

   3. Funciones diferenciables entre superficies

   4. El plano tangente y el haz tangente

   5. Primera y segunda forma fundamental. Curvatura Gaussiana

   6. Curvatura Media y superficies mínimas

   7. Superficies orientables

   8. Teorema Egregio de Gauss

   9. Teorema de Gauss-Bonnet .

   10. Algunas aplicaciones a la física y a la biología.

3. Breve introducción al estudio de variedades diferenciables.

   1. Cartas coordenadas y definición de Variedad diferenciable

   2. Espacio tangente y métricas riemannianas

   3. Tensores y curvatura

   4. Espacios de curvatura constante

Metodología de trabajo

Bibliografía

• Michael Spivak A comprehensive course on Diferential Geometry Vol 1-5. Publish or Perish
• Vladimir G. Ivancevic , Tijana T. Ivancevic . Applied Differential Geometry: A Modern Introduction . World Scientific
• Francis Borceux. A differential Approach to Geometry. Springer.
• Manfredo P. DoCarmo Differential Geometry of Curves and Surfaces in R3. Prentice-Hall
• Oscar Palmas y J. Guadalupe Reyes Curso básico de Geometría Diferencial T1. Las Prensas de Ciencias
• B. A. Dubrovin, A. T. Fomenko, S. P. Novikov Modern Geometry- Methods and Applications. Springer.
• Hilbert & Conn-Vossen Geometry and the Imagination
• A. S. Fedenko Problemas de Geometría Diferencial. IPN
• Wolfgang Kuhnel Differential geometry: curves-surfaces-manifolds. American Mathematical Society.

Evaluación

• 2 o 3 tareas-examen

• Entrega de un trabajo final profundizando sobre algún tema visto en clase o algún problema interesante, pero que sea de interés para el curso. El trabajo consiste de una parte escrita y de haber condiciones una exposición suscinta.