Matemáticas (plan 1983) 2023-2

Optativas de los Niveles V y VI, Ecuaciones Diferenciales II

Introducción

• Modelación
• Dinámica en una dimensión
• Ejemplos
• Dinámica en dos dimensiones
• Modelo de Lorenz
• Ecuaciones diferenciales cuadráticas: sistemas caóticos

Sistemas lineales

• Ecuaciones diferenciales matriciales
• Sistemas bidimensionales lineales
• Exponencial de un operador
• Soluciones fundamentales
• Valores propios y estabilidad lineal
• Sistemas no autónomos y teoría de Floquet

Existencia y unicidad

• Preliminaries topológicas
• Preliminaries de espacios de funciones
• Teorema de existencia y unicidad
• Dependencia de condiciones iniciales y parámetros
• Intervalo máximo de existencia

Sistemas dinámicos

• Flujos
• Existencia global de soluciones
• Linealización
• Estabilidad
• Funciones de Lyapunov
• Conjugación y equivalencia topológica
• Teorema de Hartman-Grobman
• Conjuntos límite
• Atractores y repulsores
• Estabilidad de órbitas periódicas
• Mapeo de Poincaré

Variedades invariantes

• Conjuntos estable e inestable
• Órbitas heteroclínicas
• Variedad estable
• Teorema de la variedad estable local
• Variedades estables globales
• Variedad central

El plano fase

• Equilibrios no hiperbólicos
• Nodos no hiperbólicos
• Centros topológicos
• Simetrías e inversiones
• Índice y grado
• Teorema de Poincaré-Bendixon
• Sistemas de Liénard
• Comportamiento al infinito: esfera de Poincaré

Evaluación: 50% tareas (entre 5 y 8) y 50% exámenes (2 o 3); la calificación final se compondrá de los resultados de estos trabajos.
Bibliografía: el temario oficial contiene buenas referencias; adicionalmente conviene mencionar el clásico de Coddington y Levinson, los libros de Hubbard y West, y el Wiggins.