Matemáticas (plan 1983) 2023-2

Optativas de los Niveles V y VI, Ecuaciones Diferenciales II

Introducción a la Teoria Cualitativa de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Con aplicaciones a la Mecánica, Mecánica Celeste, Ingeniería, etc.

El curso de Ecuaciones Diferenciales II tiene como objetivo presentar al alumno la forma de entender y solucionar las ecuaciones diferenciales NO LINEALES en el marco de la Teoría Cualitativa de las Ecuaciones Diferenciales. Aunque solo se estudian los sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales en el plano (porque en más dimensiones es Terra Incognita) , el conocimiento que se adquiere en este curso permite introducir al alumno a los Sistemas Dinámicos, Métodos Numéricos y Teoría Asisntótica de las ecuaciones diferenciales.

Este curso esta dirigido a alumnos de Matemáticas Aplicadas, Física y también Actuaria. Solo se requiere haber cursado sus Cálculos, las Ecuaciones Diferenciales I y el Algebra Lineal. En el curso , además de exponerse la teoría de ecuaciones diferenciales no lineales, se intenta también intruducir al alumno en el uso de métodos numéricos y métodos asintóticos utilizando manipuladores algebraicos como Maple, Maxima o Matematica.

TEMARIO

a) Teoremas de existencia/unicidad y continuidad de soluciones
ante variación de condiciones iniciales y parámetros.

b) Sistemas de Ecuaciones de primer orden: Revisión de sistemas
lineales, flujo en el espacio fase, clasificación de puntos críticos.

c) Teoría del índice en puntos críticos en el plano:
Definición, índice de una curva cerrada y de puntos
críticos, índice de puntos en el infinito y descripción
global del flujo.

d) Orbitas periodicas en el plano: Ciclos límites, critetio de
Bendixson, $\alpha$ y $\omega$ límite, teorema de
Poincaré--Bendixson, ecuación de Liennard.

e) Teoría de estabilidad: Integrales de movimiento, estabilidad de
Lyapunov, estabilidad orbital.

f) Teoría de Floquet: Teorema de Floquet, sistemas lineales,
Wronskianos y estabilidad, ecuación de Hill y Mathieu, lenguas
de Arnold, estabilidad de órbitas periódicas.

g) Teoría de perturbaciones: Perturbación de sistemas, orden de
magnitud, expansiones, soluciones aproximadas, convergencia de
soluciones, método de Poincaré--Lindstedt, osciladores no
lineales, introducción a la teoria de bifurcaciones.

h) Método de promedios: variables rápidas y lentas,
formulación de Lagrange.

i) Variedades invariantes.

Bibliografía

1) Nonlinear Differential Equation and Dynamical Systems; Ferdinand Verhulst, University Text, Springer Verlag.

2) Differential Equations, Intruduction and Qualitative Theory; Jane Cronin, Dekker

3) Nonlinear Ordinary Differential Equations; D. W. Jordan and P. Smith, Clarendon Press Oxford.

4) Differential Equations and Dinamical Systems; L. Perko, Text in Applied Mathematics, Springer Verlag.