Matemáticas (plan 1983) 2023-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Álgebra Moderna IV

Álgebra moderna IV

Profesor: Dr. Hugo Alberto Rincón Mejía.

Correo de contacto: hurincon@gmail.com

Ayudante: Sara Abeijón Malvaez.

Correo de contacto: sara.abeijon2027@gmail.com

Enlace de classroom: https://classroom.google.com/c/NTg1NjYzMzgyMTA4?cjc=6xmqptr

Temario:

1. Definición y nociones básicas del lenguaje de categorías, funtores goma transformaciones naturales.

1. 1 Definición de categoría. Ejemplos.

1.2 Funtores y transformaciones naturales.

1.3 Categorías preaditivas. Funtores aditivos.

1.4 Subcategorías. productos de categorías.

1.5 El funtor Hom

1.6 Exactitud de funtores entre categorías de módulos

1.7 Límites directos.

2 Anillos y módulos semisimples.

2.1 El teorema de Wedderburn- Artin

3. Productos tensoriales.

3.1 Existencia y unicidad del producto tensorial de dos módulos.

4.2 Existencia y unicidad del producto tensorial de dos módulos.

4.3 El producto tensorial conmuta con sumas directas

4.4 El producto tensorial conmuta con límites directos.

4.5 El producto tensorial como funtor

4.6 Módulos planos.

4.7 Submódulos puros.

4.8 Anillos regulares y anillos coherentes

5. Módulos Artinianos y Neterianos.

5.1. Módulos finitamente cogenerados.

5.2. Neterianos y cápsulas inyectivas.

5.3. Anillos Artinianos y Neterianos.

6. Módulos semisimples y Zoc(_).

6.1. Anillos semisimples.

6.2. Zoc(_).

6.3. Propiedades de los módulos semisimples.

7. El radical y el zoclo.

7.1. Prerradicales.

7.2. El radical de Jacobson.

7.3. Submódulos superfluos.

7.4. Tipos especiales de prerradicales.

7.5. Prerradicales exactos izquierdos.

8.. Anillos semiartinianos.

8.1. El radical generado por un prerradical.

8.2. El mayor prerradical idempotente por debajo de un prerradical.

8.3. El radical generado por el zoclo.

8.4. El mayor prerradical idempotente por debajo del Radical de Jacobson.

8.5. Caracterización de los anillos semiartinianos.

9. Anillos semilocales.

9.1. Clases de torsión hereditarias de tipo simple.

9.2. Anillos buenos (Rad(M)=Rad(R)M, para todo módulo.

9.3. Anillos locales.

9.4. Idempotentes, idempotentes primitivos.

9.5. Anillos de endomorfismos de anillos locales.

9.6. Radical de Jacobson de anillos semilocales y de anillos locales.

9.7. Levantamiento de idempotentes.

10. Anillos semiperfectos.

10.1. Módulos superfluos y cápsulas inyectivas.

10.2. Cubiertas proyectivas y epimorfismos superfluos.

10.3. Módulos semiperfectos y módulos con suplementos.

10.4. Anillos semiperfecto.

10.5. Módulos proyectivos para anillos semiperfectos.

11. Anillos perfectos

11.1. La caracterización de Bass.

11.2. Anillos perfectos caracterizados mediante sus clases de torsión hereditarias.

11.3. Anillos perfectos y condición de cadena descendente en ideales principales.

11.4. Clases importantes de anillos perfectos.

11.5. Anillos QF (proyectivos = inyectivos).

11.6. Anillos uniseriados.

11.7. Anillos para los que coinciden la cápsula inyectiva y la cubierta proyectiva.

Criterios de evaluación.

100% exámenes.

Bibliografía.

1. Anderson, F., Fuller, K., Rings and Categories of Modules, 2nd edition, New York:

Springer Verlag, 1992.

2. Gentile, E.R., Estructuras Algebraicas II, Washington: OEA, 1971.

3. Kasch, F., Modules Rings, London: Academic Press 1982.

4. Lam, T.Y., A First Course in Non-commutative Rings, Berlin: Springer Verlag, 1991.

5. Lambek, J., Lectures on Rings and Modules, Waltham, Mass.: Blaisdell, 1966.

6. Rotman, J.J., An Introduction to Homological Algebra, New York: Academic Press, 1979.

7. Wisbauer, R., Foundations of Module and Ring Theory, Philadelphia: Gordon and

Breach, 1991.

8. Stenstrom, B., Rings of Quotients, New York: Springer Verlag, 1975.