Matemáticas (plan 1983) 2023-2

Quinto Semestre, Variable Compleja I

PRESENTACIÓN.

Nuestros cursos de funciones de variable compleja se caracterizan por destacar los aspectos geométricos de la teoría, sin descuidar, por supuesto, los aspectos analíticos y sus demostraciones. Buscamos siempre mostrar la interpretación geométrica de los resultados, así como la relación de ellos con varias áreas de la Geometría, como son la Euclideana, la Hiperbólica o la Proyectiva.

También buscamos introducir brevemente algunos aspectos históricos de esta teoría y de sus relaciones con algunas áreas de la Física. Y en todo momento señalaremos el contraste entre las propiedades de las funciones complejas y las de las funciones de variable real.

Nuestro enfoque se basa en el clásico libro de Ahlfors “Análisis Complejo”, aunque actualizado en varios aspectos. También usamos el libro de Remmert “Theory of Complex Functions” como referencia. Hemos escrito notas sobre los cursos de funciones de variable compleja 1 y 2 que se pondrán a su disposición.

Iniciaremos el curso solicitando a todo el grupo que nos ayude a recordar las propiedades principales de los números complejos y sus operaciones elementales. Después de esto empezaremos estudiando las transformaciones más simples del plano complejo y sus propiedades geométricas, para continuar con las potencias y las raíces, los polinomios y las funciones racionales. Finalmente, construiremos de manera geométrica la función exponencial y las que se derivan de ella como el logaritmo y las trigonométricas.

La siguiente parte del curso se dedicará de manera detallada a estudiar la derivación de las funciones complejas. Si bien sus propiedades y fórmulas elementales son las mismas que las de la derivación real, pondremos especial énfasis en mostrar la gran diferencia entre ellas en cuanto a su significado y a sus primeras consecuencias e interpretaciones.

La última parte se dedica a definir la integración de funciones complejas y a demostrar con todo detalle sus propiedades elementales. Los principales resultados profundos sobre ellas (incluyendo el Teorema y la Fórmula de Cauchy) se estudian a través de las integrales de línea de funciones reales.

Se concluirá esta parte viendo el Teorema del Residuo y su aplicación al cálculo de integrales reales.

La evaluación se basará en tareas a lo largo del semestre (que contarán para el 50% de la calificación). El día de la entrega de la tarea se hará un breve examen sobre los problemas de la misma (que contará para el 50% restante). Todo lo anterior estará matizado por el número de asistentes al curso y por las necesidades y sugerencias del grupo.

Nos vemos el 30 de enero en el salón de clases para discutir nuestro enfoque y conocer sus puntos de vista.